Otevřít hlavní menu

Axiom silného výběru (též silný axiom výběru či zkráceně (AS), ekvivalentní s axiomem omezené velikosti) je matematické tvrzení z oblasti teorie množin, které je nezávislé při všech obvyklých axiomatizacích této teorie. Často se přidává jako nový axiom, ale ve standardních axiomatizacích jakými jsou Zermelo-Fraenkelova nebo Von Neumann-Gödel-Bernaysova chybí, neboť má mnohé silné (a často nechtěné) důsledky.

ZněníEditovat

V Zermelo-Fraenkelově teorii množin (ZF) je nutné pro formulaci axiomu silného výběru rozšířit jazyk této teorie o jeden nový unární funkční symbol  . (AS) lze pak formulovat takto:

  je bijekce mezi univerzální třídou   a třídou všech ordinálních čísel  n.

Ve Von Neumann-Gödel-Bernaysově teorii (NBG) lze vystačit s jazykem nerozšířeným při stejné definici.

NezávislostEditovat

(AS) platí v jednom vnitřním modelu teorie množin, konkrétně v univerzu konstruovatelných množin. Je proto bezesporný s axiomy teorie množin. Protože (AS) implikuje (obyčejný) axiom výběru, plyne z nedokazatelnosti tohoto axiomu nedokazatelnost (AS). Tedy (AS) je nezávislý na axiomech (ZF).

Některé důsledkyEditovat

Axiom silného výběru má mnoho silných důsledků, zde jsou některé z nich:

Související článkyEditovat