Univerzální třída

Univerzální třída je matematický pojem z oboru teorie množin označující třídu všech množin.

Označení a formální definiceEditovat

Univerzální třída se obvykle značí   a bývá definována jako  . S ohledem na to, že   je reflexivní relace, patří do takto definované třídy všechny množiny.

Vlastnosti univerzální třídyEditovat

  • Univerzální třída   obsahuje každou množinu nejen jako svůj prvek, ale zároveň také jako svojí podmnožinu.

Tento závěr vyplývá z faktu, že prvkem množiny může být opět pouze množina, tedy každý prvek každé množiny patří do  . Pokud ale každý prvek nějaké množiny patří do  , pak je podle definice tato množina podmnožinou  .

  • Univerzální třída   není množina (je to tedy vlastní třída).

Pokud by   byla množina, pak je podle axiomu potence množinou také její potenční množina  . Podle Cantorovy věty  větší mohutnost než  , ale podle předchozího odstavce je zároveň   podmnožinou  , což je sporné tvrzení (podmnožina nemůže mít větší mohutnost, než celá množina).

  • Univerzální třída   není jedinou vlastní třídou – existují i „menší“ vlastní třídy, například třída   všech ordinálních čísel nebo třída   všech kardinálních čísel.

To mimo jiné znamená, že ve vztahu z prvního odstavce   nelze obrátit implikaci.

Vztah k různým dodatečným předpokladům ZFEditovat

Vlastnosti univerzální třídy se mohou značně lišit v závislosti na tom, jaké dodatečné předpoklady přijmeme k axiomatizaci Zermelo-Fraenkelovy teorie množin bez axiomu fundovanosti (tato teorie se obvykle značí  ).

Související článkyEditovat