Konstruovatelná množina

Konstruovatelná množina je matematický pojem z oblasti teorie množin. Používá se pro označení „slušně se chovajících“ množin v tom smyslu, že je lze pomocí několika základních množinových operací získat transfinitní rekurzí z prázdné množiny.

DefiniceEditovat

Konstruovatelné množiny jsou definovány pomocí několika pomocných pojmů - pro přehlednost se tento článek neodkazuje na samostatné články pro jednotlivé pojmy, ale zavádí je všechny zde:

Uzavřenost na základní operaceEditovat

Označme symboly   následující množinové funkce:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Funkce   se nazývají základní operace či gödelovské operace. Řekneme, že množina   je uzavřená na základní operace, pokud s každými dvěma množinami obsahuje i jejich obrazy podle výše uvedených sedmi funkcí, tj.
 

Uzávěr na základní operaceEditovat

Máme-li množinu  , definujme posloupnost množin   takto:

  •  
  •  

Definujme uzávěr množiny S na základní operace jako:
 

Vypadá to sice hrozivě, ale není na tom nic tak strašného - přeříkáno „po lidsku“ je uzávěr množina, která k prvkům původní množiny   přidá všechny výsledky libovolně nakombinovaných základních operací provedených pro prvky z  .
Není příliš složité si uvědomit, že uzávěr je množina uzavřená na základní operace, a že je to nejmenší taková nadmnožina pro  . Speciálně: pokud je   uzavřená na základní operace, platí  , to znamená, že množina uzavřená na základní operace je sama sobě uzávěrem.

Na závěr ještě označme  
Důvodem této (čistě pomocné) definice je, že při vytváření konstruovatelných množin nás nebudou zajímat uzávěry jako takové, ale pouze ty prvky uzávěru, které jsou podmnožinou původní množiny.

Konstruovatelné množinyEditovat

Definujme transfinitní rekurzí množinové zobrazení   pro všechna ordinální čísla   takto:
 , t.j. prázdná množina

  •  , t.j. „modifikovaný“ uzávěr předchozího člena posloupnosti
  •   pro limitní ordinál  

Třída konstruovatelných množin   je definována jako:
 
Její prvky nazýváme konstruovatelné množiny.

Motivace a vlastnostiEditovat

Nabízí se otázka, co jsme to vlastně nadefinovali.
Představme si třídu všech ordinálních čísel   jako nekonečně vysoký sloup nebo kmen nekonečně vysokého stromu - s ohledem na to, že je tato třída dobře uspořádaná, není tato představa úplně od věci.
Třída   přidává k tomuto kmeni patro po patru nějaké větve a listy a to tak, aby výsledek byl smysluplný (t.j. pokud a,b leží uvnitř stromu, tak tam leží i {a,b} nebo a   b), ale zároveň co nejmenší - přidám vždy jen to nejnutnější.

Jiným příkladem konstrukce takového stromu, která si zdaleka nedává takový pozor na to, kolik toho přidá (a vytváří tedy mnohem širší a rozsochatější strom), je konstrukce fundovaného jádra, se kterým je   porovnávána v následujícím odstavci.

Srovnání s fundovaným jádremEditovat

Konstrukce třídy konstruovatelných množin   nápadně připomíná konstrukci fundovaného jádra  . Podstatný rozdíl je v tom, že zatímco v případě fundovaného jádra je další vrstva tvořena pomocí potenční množiny předchozí vrstvy, v případě   si vybírám pouze velice malou část potenční množiny. Snadno se dá ukázat, že
 
zatímco pro vrstvu fundovaného jádra je
 

V této analogii můžeme jít ještě dál:
Axiom fundovanosti v podstatě tvrdí (následující tvrzení je s ním ekvivalentní), že
  - každá množina patří do fundovaného jádra.
Obdobně axiom konstruovatelnosti tvrdí, že
  - každá množina patří do třídy konstruovatelných množin (nebo jinak: každá množina je konstruovatelná).

Z definice   přímo plyne  .

Vnitřní model teorie množinEditovat

Axiom konstruovatelnosti je bezesporný s axiomy Zermelo-Fraenkelovy teorie množin a je dokonce nezávislý - i jeho negace   je bezesporná s axiomy ZF.

Důvodem, proč je axiom fundovanosti součástí standardní axiomatiky ZF, zatímco axiom konstruovatelnosti nikoliv, je přílišná „síla“ axiomu konstruovatelnosti, který příliš zjednodušuje strukturu světa teorie množin.
Z axiomu konstruovatelnosti mimo jiné vyplývá axiom výběru (dokonce jeho silná verze) a také zobecněná hypotéza kontinua.

Třída konstruovatelných množin tvoří vnitřní model teorie množin - platí na ní všechny axiomy teorie množin (přesněji podoba těchto axiomů relativizovaná do  . Je to tedy vhodný nástroj pro testování nezávislosti a bezespornosti různých hypotéz - pokud totiž nějaká hypotéza platí v modelu  , pak je bezesporná s axiomy ZF.

Související článkyEditovat