Sigma algebra

$\sigma$-algebra (sigma-algebra, též $\sigma$-těleso) je v matematice libovolný neprázdný systém množin, který je uzavřený na spočetné sjednocení a na rozdíl dvou prvků a obsahuje sjednocení všech svých prvků. Prefix $\sigma$ v názvu vyjadřuje uzavřenost na spočetné sjednocení.

Formální definice

Systém ${\mathcal {A}}$ podmnožin množiny ${\mathcal {\Omega }}$ nazveme $\sigma$-algebrou, jestliže obsahuje prázdnou množinu a je uzavřený na spočetné sjednocení a doplněk, tj.

1. $\emptyset \in {\mathcal {A}}$
2. jestliže $(\forall n\in \mathbb {N} )(M_{n}\in {\mathcal {A}})$, pak $\bigcup _{n=1}^{\infty }M_{n}\in {\mathcal {A}}$
3. jestliže $M\in {\mathcal {A}}$, pak $\Omega \setminus M\in {\mathcal {A}}$

Další vlastnosti

• $\sigma$-algebra obsahuje sjednocení všech svých prvků: $\left(\bigcup _{M\in {\mathcal {A}}}M\right)\in {\mathcal {A}}$; dostaneme dosazením prázdné množiny za $M$ v poslední části definice
• $\sigma$-algebra je uzavřená na spočetný průnik svých prvků: jestliže $(\forall n\in \mathbb {N} )(A_{n}\in {\mathcal {R}})$, pak $\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {R}}$

Použití

Koncept $\sigma$-algebry je důležitý především v teorii míry a v teorii pravděpodobnosti. Míra je libovolná nezáporná množinová funkce, která je $\sigma$-aditivní a má na prázdné množině hodnotu 0. Pravděpodobnost je míra, která má na univerzální množině $\Omega$ hodnotu 1.

Měřitelná množina

V teorii míry se dvojice $(\Omega ,{\mathcal {A}})$, kde $\Omega$ je libovolná množina a ${\mathcal {A}}$ je $\sigma$-algebra na $\Omega$ nazývá měřitelný prostor a množiny ${\mathcal {S}}\in {\mathcal {A}}$ nazýváme měřitelné množiny.

Související články

• $\sigma$-okruh
• Pravděpodobnost

Autoritní data	GND: 4181252-9