Wikipedista:JozumBjada/Pískoviště 4

clanek o "Cliffordova grupa"

Na tuto kapitolu jsou přesměrována hesla Cliffordova operace a Cliffordovo hradlo.

Cliffordova grupa (anglicky Clifford group) je normalizátor Pauliho grupy v grupě unitárních operátorů. Neformálně řečeno, prvky Cliffordovy grupy jsou ty unitární operátory, které „téměř“ komutují s Pauliho operátory. Svůj název grupa dostala na počest britského matematika Williama Kingdona Clifforda. Cliffordova grupa je důležitým pojmem v oblasti kvantového počítání a kvantových komunikačních protokolů.

Definice

Pauliho grupa je grupa generovaná Pauliho operátory

Cliffordova grupa

$C_{1}=\{U\in U_{d}|UC_{1}U^{\dagger }\subset C_{k-1}\},$

lokální Cliffordova grupa

$C_{1}^{n}=\{U\in \mathbf {U} (2)^{n}|UPU^{\dagger }=P\},$

zkonzistentnit oznaceni: C_1 ci C_2?

normalizátor, generátory, vícečásticové zobecnění ne univerzalita clif. není hustá v grupě U???

Prvky Cliffordovy grupy se označují jako Cliffordovy operátory (anglicky Clifford operator) či v kontextu kvantového počítání jako Cliffordova hradla (anglicky Clifford gate).

Cliffordova operace Cliffordovo hradlo

Pauliho grupa Příklady: X, Y, Z, H, P, CNOT, CZ

Množina takových operátorů je skutečně grupa, protože obsahuje identitu, násobení matic je asociativní...

Jak plyne z definice, Pauliho operátory jsou též Cliffordovy operátory.

Pokud odignorujeme globální fáze Cliffordových operátorů, je jednoqubitových Cliffordových hradel konečně mnoho - konkrétně 24. V tabulce níže jsou všechny tyto vypsány.

Jednoqubitové Cliffordovy operátory

$\mathrm {I}$	$X$	$Y$	$Z$
${\sqrt {iX}}$	${\sqrt {-iX}}$	$Z{\sqrt {iX}}$	$Z{\sqrt {-iX}}$
${\sqrt {iY}}$	${\sqrt {-iY}}$	$Z{\sqrt {iY}}$	$Z{\sqrt {-iY}}$
${\sqrt {iZ}}$	${\sqrt {-iZ}}$	$X{\sqrt {iZ}}$	$X{\sqrt {-iZ}}$
${\sqrt {iZ}}{\sqrt {iX}}$	${\sqrt {iZ}}{\sqrt {-iX}}$	${\sqrt {-iZ}}{\sqrt {iX}}$	${\sqrt {-iZ}}{\sqrt {-iX}}$
${\sqrt {iZ}}{\sqrt {iY}}$	${\sqrt {iZ}}{\sqrt {-iY}}$	${\sqrt {-iZ}}{\sqrt {iY}}$	${\sqrt {-iZ}}{\sqrt {-iY}}$

${\sqrt {\pm i\sigma }}=e^{\pm i{\frac {\pi }{4}}\sigma },\quad \sigma \in \{X,Y,Z\}$

${\sqrt {\pm i\sigma _{j}}}=e^{\pm i{\frac {\pi }{4}}\sigma _{j}},\quad j\in \{1,2,3\}$

Všechny jednoqubitová Cliffordova hradla jsou až na globální fázi tak buď rovny Pauliho operátorům, "odmocninovým" operátorům tvaru, či součinu těchto dvou typů operátorů.

$\sigma _{0}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad \sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.$

$e^{\pm i{\frac {\pi }{4}}\sigma _{1}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&\pm i\\\pm i&1\end{pmatrix}},\quad e^{\pm i{\frac {\pi }{4}}\sigma _{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&\pm 1\\\mp 1&1\end{pmatrix}},\quad e^{\pm i{\frac {\pi }{4}}\sigma _{3}}={\begin{pmatrix}e^{\pm i{\frac {\pi }{4}}}&0\\0&e^{\mp i{\frac {\pi }{4}}}\end{pmatrix}}.$

Poslední operátor v tabulce tak explicitně zní

${\sqrt {-i\sigma _{3}}}{\sqrt {-i\sigma _{2}}}={\begin{pmatrix}e^{-i{\frac {\pi }{4}}}&0\\0&e^{+i{\frac {\pi }{4}}}\end{pmatrix}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}}=e^{-i{\frac {\pi }{4}}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&-1\\i&i\end{pmatrix}}.$

Generátory

Cliffordova grupa je konečně generována, což znamená, že existuje konečný počet operátorů, to jest generátorů, jejich součinem v různém pořadí lze obdržet jakýkoliv prvek Cliffordovy grupy. Volba generátorů není jednoznačná, často se za generující operátory bere trojice hradel

$H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}},\quad S={\begin{pmatrix}1&0\\0&i\end{pmatrix}},\quad \mathrm {CNOT} ={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}$

to jest po řadě Hadamardovo hradlo, fázové hradlo, a podmíněné NOT hradlo. Lze snadno ukázat, že tyto tři operace patří od normalizátoru Pauliho grupy. Konkrétně platí následující komutační vztahy s Pauliho operátory

${\displaystyle }$

„Odmocninové“ operátory zmíněné výše lze vyjádřit následujícím způsobem:

$e^{i{\frac {\pi }{4}}\sigma _{1}}=SHS,\quad e^{-i{\frac {\pi }{4}}\sigma _{1}}=ZSHSZ$

$e^{i{\frac {\pi }{4}}\sigma _{2}}=ZH,\quad e^{-i{\frac {\pi }{4}}\sigma _{2}}=HZ$

$e^{i{\frac {\pi }{4}}\sigma _{3}}=e^{i{\frac {\pi }{4}}}SZ,\quad e^{-i{\frac {\pi }{4}}\sigma _{3}}=e^{-i{\frac {\pi }{4}}}S,$

kde $Z=\sigma _{3}$ je třetí Pauliho matice, jež splňuje vztah $Z=S^{2}$. Z této diskuze tak plyne, že jakýkoliv jednoqubitový Cliffordův operátor lze (až na nedůležitou globální fázi) vyjádřit jako součin posloupnosti operátorů $H$ a $S$. Tak například výše zmíněný operátor ${\sqrt {-i\sigma _{3}}}{\sqrt {-i\sigma _{2}}}$ je až na globální fázi roven součinu $SHS^{2}$. Pro Pauliho operátory dostáváme: $\sigma _{0}=H^{2}$, $\sigma _{1}=HS^{2}H$, $\sigma _{2}=SHS^{2}HS^{3}$, $\sigma _{3}=S^{2}$.

Gottesmannova-Knillova věta

Na tuto kapitolu je přesměrováno heslo Gottesmanova-Knillova věta.

arxiv:1506.01328 says: The Clifford Group [16] is the set of operators that conjugate Pauli operators into Pauli operators. A universal gate set for Clifford group circuits consists of the Pauli gates themselves, together with H, P and CNOT. Stabilizer circuits are formed by adding the operations of single-qubit measurements and auxiliary qubit preparation to the Clifford group circuits. Stabilizer circuits are not universal for quantum computation [16], it means that Gott Knill theorem states that(?????): Každý kvantový počítač provádějící pouze stabilizátorové okruhy může být dokonale simulován v polynomiálním čase na nedeterministickém klasickém počítači.

Cliffordova hradla mají tu význačnou vlastnost, že je lze efektivně simulovat pomocí klasického počítače, jak plyne z tvrzení známého jako Gottesmanova-Knillova věta (anglicky Gottesman-Knill theorem). Tato věta se poprvé objevila v práci Daniela Gottesmana, ve které ji on sám označuje jako Knillovu větu a odvolává se na soukromou korespondenci s Emanuelem Knillem. Důkaz této věty není v Gottesmanově článku podán přímo, ale jako série pozorování. Tvrzení věty zní následovně:

Každý kvantový počítač provádějící pouze: a) Cliffordova hradla, b) měření Pauliho operátorů a c) Cliffordovy operátory podmíněné klasickými bity, které mohou být výsledkem dřívějších měření, může být dokonale simulován v polynomiálním čase na nedeterministickém klasickém počítači.

důkaz - pamatuj i na ten Stack exchange dotaz o tom, jak to dokázat...

citace původní publikace, pak PRA článku a zdrojového kódu na osobních stránkách...

důsledky:

z věty plyne, že i i provázané stavy lze někdy simulovat!

Cliffordova hierarchie

Cliffordova hierarchie, též zvaná Gottesmanova-Chuangova hierarchie je posloupnost množin operátorů definovaná následujícím rekurzivním vzorcem:

$C_{k}=\{U\in U_{d}|UC_{1}U^{\dagger }\subset C_{k-1}\},$

pro $k\geq 2$, kde první člen posloupnosti $C_{1}$ je totožný s Pauliho grupou. Z definice výše plyne, že $C_{2}$ odpovídá Cliffordově grupě. Zatímco $C_{1}$ a $C_{2}$ tvoří grupy, pro vyšší členy posloupnosti již totéž neplatí a nejsou uzavřené na skládání zobrazení. Množina všech diagonálních operátorů z $C_{k}$ však již grupu tvoří pro každé $k$. Navíc pro $k\geq 2$ lze každý takový diagonální operátor zkonstruovat s pomocí Cliffordových operátorů a $Z$ rotací o úhel $\pi /2^{k-1}$. Tyto vyšší členy nejsou dobře prostudovány a o jejich vlastnostech se toho moc neví.

Poprvé byla Cliffordova hierarchie zavedena v článku v souvislosti s fault-tolerant implementací kvantových hradel pomocí teleportace.

Množina $C_{3}$ obsahuje Toffoliho hradlo a dále T hradlo či CPHASE hradlo, jež jsou definované maticemi

$T={\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{4}}}\end{pmatrix}},\quad \mathrm {CPHASE} ={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&i\end{pmatrix}}.$

Aplikace

Kvantové počítání

Ukazuje se, že Cliffordovy operátory s jediným neCliffordovým operátorem tvoří univerzální množinu opeátorů umožňující implementaci jakéhokoliv kvantového algoritmu

V kvantovém počítání založeném na měření lze Cliffordovy operátory implementovat měřením bez feed-forwardu a lze je v podstatě z clusterového stavu vyjmout...

quantum error-correction

stabilizátor

Kvantová komunikace

quantum one-time pad quantum homomorphic enc.

Odkazy

Literatura

• GOTTESMAN, Daniel. Stabilizer Codes and Quantum Error Correction. arxiv.org. 1997. Dostupné online [cit. 2024-03-31]. DOI 10.48550/ARXIV.QUANT-PH/9705052. 

Související články

• Kvantové počítání
• Pauliho matice

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu JozumBjada/Pískoviště 4 na Wikimedia Commons

---

toccolours wikitable

nadpis
ne tohle je text

adf
sadfafda

Theorem 1 (Knill’s theorem) Any quantum computer performing only: a) Clifford group gates, b) measurements of Pauli group operators, and c) Clifford group operations conditioned on classical bits, which may be the results of earlier measurements, can be perfectly simulated in polynomial time on a probabilistic classical computer.

$e^{\pm i{\frac {\pi }{4}}\sigma _{1}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&\pm i\\\pm i&1\end{pmatrix}}.$

$e^{\pm i{\frac {\pi }{4}}\sigma _{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&\pm 1\\\mp 1&1\end{pmatrix}}.$

$e^{\pm i{\frac {\pi }{4}}\sigma _{3}}={\begin{pmatrix}e^{\pm i{\frac {\pi }{4}}}&0\\0&e^{\mp i{\frac {\pi }{4}}}\end{pmatrix}}.$

Jednoqubitové Cliffordovy operátory

$\sigma _{0}$	$\sigma _{1}$	$\sigma _{2}$	$\sigma _{3}$
${\sqrt {i\sigma _{1}}}$	${\sqrt {-i\sigma _{1}}}$	$\sigma _{3}{\sqrt {i\sigma _{1}}}$	$\sigma _{3}{\sqrt {-i\sigma _{1}}}$
${\sqrt {i\sigma _{2}}}$	${\sqrt {-i\sigma _{2}}}$	$\sigma _{3}{\sqrt {i\sigma _{2}}}$	$\sigma _{3}{\sqrt {-i\sigma _{2}}}$
${\sqrt {i\sigma _{3}}}$	${\sqrt {-i\sigma _{3}}}$	$\sigma _{1}{\sqrt {i\sigma _{3}}}$	$\sigma _{1}{\sqrt {-i\sigma _{3}}}$
${\sqrt {i\sigma _{3}}}{\sqrt {i\sigma _{1}}}$	${\sqrt {i\sigma _{3}}}{\sqrt {-i\sigma _{1}}}$	${\sqrt {-i\sigma _{3}}}{\sqrt {i\sigma _{1}}}$	${\sqrt {-i\sigma _{3}}}{\sqrt {-i\sigma _{1}}}$
${\sqrt {i\sigma _{3}}}{\sqrt {i\sigma _{2}}}$	${\sqrt {i\sigma _{3}}}{\sqrt {-i\sigma _{2}}}$	${\sqrt {-i\sigma _{3}}}{\sqrt {i\sigma _{2}}}$	${\sqrt {-i\sigma _{3}}}{\sqrt {-i\sigma _{2}}}$