Prvních šest Legendrových polynomů Legendrovy polynomy (pojmenovány podle Adriena-Marie Legendreho ) jsou v matematice polynomiální řešení
P
n
(
x
)
{\displaystyle P_{n}(x)}
Legendrovy diferenciální rovnice
d
d
x
[
(
1
−
x
2
)
d
P
n
(
x
)
d
x
]
+
n
(
n
+
1
)
P
n
(
x
)
=
0
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[\left(1-x^{2}\right){\frac {\mathrm {d} P_{n}(x)}{\mathrm {d} x}}\right]+n(n+1)P_{n}(x)=0\,}
s celočíselným parametrem
n
≥
0
{\displaystyle n\geq 0}
P
n
(
1
)
=
1
{\displaystyle P_{n}(1)=1}
P
n
(
x
)
{\displaystyle P_{n}(x)}
ortogonální posloupnosti polynomů stupně n . Lze je vyjádřit pomocí Rodriguezova vzorce :
P
n
(
x
)
=
1
2
n
n
!
d
n
d
x
n
(
x
2
−
1
)
n
,
{\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\left(x^{2}-1\right)^{n}\,,}
nebo pomocí jakékoliv reprezentace uvedené níže.
Diferenciální rovnice výše má další řešení, která nejsou polynomy, tzv. Legendrovy funkce druhého druhu
Q
n
{\displaystyle Q_{n}}
Dvouparametrické zobecnění Legendrovy diferenciální rovnice se nazývá Legendrova zobecněná diferenciální rovnice a řeší ji přidružené Legendrovy polynomy . Legendrovy funkce jsou řešením Legendrovy (zobecněné) rovnice s neceločíselnými parametry.
Legendrova diferenciální rovnice se často nachází ve fyzice a příbuzných technických oborech. Zejména se objeví při řešení Laplacovy rovnice (a podobných parciálních diferenciálních rovnic ) ve sférických souřadnicích . Vytvořující funkce (viz níže) je základem pro multipólový rozvoj .
Legendrovu diferenciální rovnici lze řešit metodou mocninné řady. Rovnice má regulární singulární body v
x
=
±
1
{\displaystyle x=\pm 1}
|
x
|
<
1
{\displaystyle |x|<1}
n
{\displaystyle n}
P
n
(
x
)
{\displaystyle P_{n}(x)}
x
=
1
{\displaystyle x=1}
x
=
−
1
{\displaystyle x=-1}
P
n
(
x
)
{\displaystyle P_{n}(x)}
Taylorovy řady vytvořující funkce
1
1
−
2
x
t
+
t
2
=
∑
n
=
0
∞
P
n
(
x
)
t
n
.
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}\,.}
Rozvojem vytvořující funkce do prvních dvou členů Taylorovy řady dostaneme první dva Legendrovy polynomy
P
0
(
x
)
=
1
,
P
1
(
x
)
=
x
.
{\displaystyle P_{0}(x)=1\,,\quad P_{1}(x)=x\,.}
Pro získání dalších členů bez přímého výpočtu Taylorovy řady zderivujeme podle
t
{\displaystyle t}
x
−
t
1
−
2
x
t
+
t
2
=
(
1
−
2
x
t
+
t
2
)
∑
n
=
1
∞
n
P
n
(
x
)
t
n
−
1
.
{\displaystyle {\frac {x-t}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\left(1-2xt+t^{2}\right)\sum _{n=1}^{\infty }nP_{n}(x)t^{n-1}\,.}
Dosazením za odmocninu z její definice a porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin
t
{\displaystyle t}
Bonetův rekurzivní vztah
(
n
+
1
)
P
n
+
1
(
x
)
=
(
2
n
+
1
)
x
P
n
(
x
)
−
n
P
n
−
1
(
x
)
.
{\displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)\,.}
Tato rovnice spolu s prvními dvěma polynomy
P
0
{\displaystyle P_{0}}
P
1
{\displaystyle P_{1}}
Mezi explicitní vyjádření patří
P
n
(
x
)
=
1
2
n
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
2
(
x
−
1
)
n
−
k
(
x
+
1
)
k
P
n
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
(
n
+
k
k
)
(
x
−
1
2
)
k
P
n
(
x
)
=
1
2
n
∑
k
=
0
[
n
2
]
(
−
1
)
k
(
n
k
)
(
2
n
−
2
k
n
)
x
n
−
2
k
P
n
(
x
)
=
2
n
∑
k
=
0
n
x
k
(
n
k
)
(
n
+
k
−
1
2
n
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}(x-1)^{n-k}(x+1)^{k}\\P_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{k}\\P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{[{\frac {n}{2}}]}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {2n-2k}{n}}x^{n-2k}\\P_{n}(x)&=2^{n}\sum _{k=0}^{n}x^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {\frac {n+k-1}{2}}{n}}\,,\end{aligned}}}
kde poslední vztah, který vychází z rekurentního vztahu, vyjadřuje Legendrův polynom jako součet monomů a obsahuje multiplikativní vztah kombinačního čísla .
Prvních několik Legendrových polynomů:
n
P
n
(
x
)
0
1
1
x
2
1
2
(
3
x
2
−
1
)
3
1
2
(
5
x
3
−
3
x
)
4
1
8
(
35
x
4
−
30
x
2
+
3
)
5
1
8
(
63
x
5
−
70
x
3
+
15
x
)
6
1
16
(
231
x
6
−
315
x
4
+
105
x
2
−
5
)
7
1
16
(
429
x
7
−
693
x
5
+
315
x
3
−
35
x
)
8
1
128
(
6435
x
8
−
12012
x
6
+
6930
x
4
−
1260
x
2
+
35
)
9
1
128
(
12155
x
9
−
25740
x
7
+
18018
x
5
−
4620
x
3
+
315
x
)
10
1
256
(
46189
x
10
−
109395
x
8
+
90090
x
6
−
30030
x
4
+
3465
x
2
−
63
)
{\displaystyle {\begin{array}{r|r}n&P_{n}(x)\\\hline 0&1\\1&x\\2&{\tfrac {1}{2}}\left(3x^{2}-1\right)\\3&{\tfrac {1}{2}}\left(5x^{3}-3x\right)\\4&{\tfrac {1}{8}}\left(35x^{4}-30x^{2}+3\right)\\5&{\tfrac {1}{8}}\left(63x^{5}-70x^{3}+15x\right)\\6&{\tfrac {1}{16}}\left(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5\right)\\7&{\tfrac {1}{16}}\left(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x\right)\\8&{\tfrac {1}{128}}\left(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35\right)\\9&{\tfrac {1}{128}}\left(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x\right)\\10&{\tfrac {1}{256}}\left(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63\right)\\\hline \end{array}}}
Grafy polynomů do
n
=
5
{\displaystyle n=5}
Plot of the six first Legendre polynomials.
Důležitou vlastnosti Legendrových polynomů je, že jsou ortogonální vzhledem k L 2 normě
−
1
≤
x
≤
1
{\displaystyle -1\leq x\leq 1}
∫
−
1
1
P
m
(
x
)
P
n
(
x
)
d
x
=
2
2
n
+
1
δ
m
n
{\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,\mathrm {d} x={\frac {2}{2n+1}}\delta _{mn}}
(kde
δ
m
n
{\displaystyle \delta _{mn}}
Kroneckerovo delta rovno 1, když
m
=
n
{\displaystyle m=n}
Další způsob odvození Legendrových polynomů je provést Gramovu–Schmidtovu ortogonalizaci na posloupnosti polynomů
{
1
,
x
,
x
2
,
x
3
,
…
}
{\displaystyle \{1,x,x^{2},x^{3},\ldots \}}
Sturmovu–Liouvileho úlohu , kde Legendrovy polynomy jsou vlastními funkcemi hermitovského diferenciálního operátoru
d
d
x
(
(
1
−
x
2
)
d
d
x
P
(
x
)
)
=
−
λ
P
(
x
)
,
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(\left(1-x^{2}\right){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}P(x)\right)=-\lambda P(x)\,,}
kde vlastní hodnota
λ
{\displaystyle \lambda }
n
(
n
+
1
)
{\displaystyle n(n+1)}
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[\left(1-x^{2}\right){\frac {\mathrm {d} P_{n}(x)}{\mathrm {d} x}}\right]+n(n+1)P_{n}(x)=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ee638e0b21c58a519966d138ebed489419c5d3e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}(x-1)^{n-k}(x+1)^{k}\\P_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{k}\\P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{[{\frac {n}{2}}]}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {2n-2k}{n}}x^{n-2k}\\P_{n}(x)&=2^{n}\sum _{k=0}^{n}x^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {\frac {n+k-1}{2}}{n}}\,,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54c1b8e53c803b210b6545207e784e714530b964)
