Tichonovova věta

Tichonovova věta je matematické tvrzení z oblasti topologie. Říká, že libovolný součin kompaktních topologických prostorů je také kompaktní. Platnost této věty je ekvivalentní axiomu výběru. Poprvé ji dokázal roku 1929 Andrej Nikolajevič Tichonov.

Přesné zněníEditovat

Za předpokladu axiomu výběru: Nechť   jsou kompaktní topologické prostory, A libovolná množina. Pak součin   je kompaktní.

DůkazEditovat

K důkazu se využívá takzvané Alexandrovo lemma, které říká následující:

(Lemma Alexander) Nechť v topologickém prostoru Y existuje subbáze S taková, že z každého pokrytí prostoru Y prvky S lze vybrat konečné podpokrytí. Pak prostor Y je kompaktní.

Dále volme v součinu   subbázi   otevřená v  , kde   jsou kanonické projekce. Nechť je dáno pokrytí   prostoru Y prvky S. Dle Alexandrova lemmatu stačí ukázat, že z   lze vybrat konečné podpokrytí.

Volme   pro každé  . Pak zřejmě alespoň jeden ze systémů   pokrývá  , neboť jinak zvolíme-li pro každé   takové, že není v žádné množině z  , neleží   v žádné množině z   (to plyne triviálně z  ), což je spor s tím, že   je pokrytí součinu. Tedy máme   takové, že   pokrývá  . Pak z kompaktnosti   existují  , že  , pak   a zřejmě  , tedy jsme nalezli konečné podpokrytí  , což jsme potřebovali.

AplikaceEditovat

ReferenceEditovat

V češtině:

V angličtině:

V němčině: