Otevřít hlavní menu

Axiomatizace teorie polomnožinEditovat

Základní definiceEditovat

Některé definice v tomto odstavci využívají objekty, jejichž existenci a vlastnosti lze dokázat pouze použitím některých axiomů. Proto při výstavbě teorie polomnožin je nutné postupovat po krocích (zavést axiomy, jejich užitím definovat nějaké objekty, ty využít k formulaci dalších axiomů, pomocí nich definovat další objekty, atd …). Pro přehlednost jsou však uvedeny axiomy a definice zvlášť a v pořadí, které neodpovídá jejich postupnému zavádění, ale jejich významu.

  • Uspořádanou dvojici <x,y> definujeme jako   (existence takové množiny plyne z axiomu dvojice pro množiny - viz dále).
  • Řekneme, že třída R je relace, značíme Rel(R), jsou-li všechny prvky R tvaru   pro nějaké množiny u,v. Je-li  , píšeme také někdy uRv. Definiční obor relace R, D(R), je množina všech v, pro které existuje u, že  . Obor hodnot relace R, W(R), je množina všech u, pro které existuje v, že  .
  • Extenze prvku   v relaci R,  , je  .
  • Třída X je polomnožina, Pm(X), existuje-li množina y, že  .
  • Relace R je regulární, Reg(R), je-li   polomnožinou pro všechna  .
  • Relace R je prostá, Pr(R), je-li pro   z D(R) nutně  .
  • Třída X je exaktní funktor, Exct(X), je-li  .

AxiomyEditovat

Axiomatizace teorie polomnožin se obvykle vyslovuje v logice obsahující dva druhy proměnných - proměnné pro množiny a proměnné pro třídy. V následující axiomatizaci budeme označovat proměnné pro množiny malými písmeny x,y,z,… a proměnné pro třídy velkými písmeny X,Y,Z,…

Axiomy definující množinové proměnnéEditovat

  • (MP1)   (Axiom definice množinové proměnné) Třída X je množina, právě když je prvkem nějaké třídy.
  • (MP2)   (Axiom inkluze množinových a třídových proměnných) Každá množina je zároveň třída.

Axiomy o třídách a množináchEditovat

  • (TM1)   (Axiom existence množiny) Existuje nějaká množina.
  • (TM2)   (Axiom extenzionality pro třídy) Třídy jsou si rovny právě když mají stejné prvky.
  • (TM3)   (Axiom dvojice pro množiny) Pro každé dvě množiny existuje množina, která je neuspořádanou dvojicí těchto množin.
  • (TM4)   (Axiom nekonečna) Existuje nekonečná množina.

Gödelovské axiomy pro třídyEditovat

  • (GT1)   (Existence univerzální třídy) Existuje třída všech množin.
  • (GT2)   (Existence reprezentace  ) Na každé třídě existuje třídová reprezentace relace  .
  • (GT3)   (Axiom doplňku) Pro každé dvě třídy existuje doplněk jedné do druhé.
  • (GT4)   (Axiom projekce) Pro každou třídu je její definiční obor rovněž třídou.
  • (GT5)   (Axiom zúžení) Pro každé dvě třídy existuje zúžení jedné na druhou.
  • (GT6)   (Axiom binární inverze) Pro každou třídu (binární relaci) existuje třída k ní inverzní.
  • (GT7)   (Axiom ternární inverze) Pro každou třídu (ternární relaci) existuje třída, jež je její „cyklickou záměnou“.

Gödelovské axiomy pro množinyEditovat

  • (GM2)   (Existence reprezentace  ) Na každé množině existuje množinová reprezentace relace  .
  • (GM3)   (Axiom doplňku) Pro každé dvě množiny existuje doplněk jedné do druhé.
  • (GM4)   (Axiom projekce) Pro každou množinu je její definiční obor rovněž množinou.
  • (GM5)   (Axiom zúžení) Pro každé dvě množiny existuje zúžení jedné na druhou.
  • (GM6)   (Axiom binární inverze) Pro každou množinu (binární relaci) existuje množina k ní inverzní.
  • (GM7)   (Axiom ternární inverze) Pro každou třídu (ternární relaci) existuje třída, jež je její „cyklickou záměnou“.

Axiom exaktního funktoruEditovat

  • (EF)   (Axiom exaktního funktoru) Exaktní funktor má polomnožinový definiční obor, právě když má polomnožinový obraz.

PolomnožinaEditovat

Polomnožinou nazýváme takovou vlastní třídu X, pro kterou existuje množina y, že  .

Související článkyEditovat