Szemerédiho věta

Szemerédiho věta je tvrzení z oboru teorie čísel, které potvrzuje Erdősovu–Turánovu domněnku z roku 1936. Pál Erdős a Paul Turán vyslovili hypotézu, že pro každé přirozené číslo k a reálné číslo d, 0<d<1, existuje takové přirozené číslo , že pro všechna každá podmnožina mohutnosti alespoň dn obsahuje k-prvkovou aritmetickou posloupnost.[1] Jako větu tvrzení dokázal v roce 1975 Endre Szemerédi,[2] který již předtím v roce 1969 publikoval důkaz pro k = 4.[3] Předtím existoval důkaz pro k=3 z roku 1953 od Klause Rotha[4] (případy k=1,2 mají důkaz triviální).

Szemerédiho větu se později podařilo dokázat několika dalšími metodami, jeden z alternativních důkazů publikoval v roce 1977 Hilel Fürstenberg[5], další v roce 2001 Timothy Gowers.[6]

Tvrzení lze vyslovit také tak, že každá podmnožina přirozených čísel s nenulovou horní asymptotickou hustotou obsahuje konečné aritmetické posloupnosti libovolné délky.

Jedná se o zobecnění van der Waerdenovy věty, naopak Greenova-Taova věta představuje silnější tvrzení pro speciální případ množiny prvočísel (ta má asymptotickou hustotu nulovou a samotná Szemerédiho věta se na ni tedy nevztahuje).

ReferenceEditovat

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Szemerédiho veta na slovenské Wikipedii a Szemerédi's theorem na anglické Wikipedii.

  1. ERDŐS, Pál; TURÁN, Pál. On some sequences of integers. Journal of the London Mathematical Society. 1936, s. 261–264. Dostupné online. DOI:10.1112/jlms/s1-11.4.261. (anglicky) 
  2. SZEMERÉDI, Endre. On sets of integers containing no k elements in arithmetic progression. Acta Arithmetica. 1975, s. 199–245. Dostupné online. Zbl 0303.10056, MR0369312. (anglicky) 
  3. SZEMERÉDI, Endre. On sets of integers containing no four elements in arithmetic progression. Acta Math. Acad. Sci. Hung.. 1969, s. 89–104. DOI:10.1007/BF01894569. Zbl 0175.04301, MR0245555. (anglicky) 
  4. ROTH, Klaus Friedrich. On certain sets of integers, I. Journal of the London Mathematical Society. 1953, s. 104–109. DOI:10.1112/jlms/s1-28.1.104. Zbl 0050.04002, MR0051853. (anglicky) 
  5. FÜRSTENBERG, Hilel. Ergodic behavior of diagonal measures and a theorem of Szemerédi on arithmetic progressions. J. D’Analyse Math.. 1977, s. 204–256. DOI:10.1007/BF02813304. MR0498471. 
  6. GOWERS, Timothy. A new proof of Szemerédi's theorem. Geom. Funct. Anal.. 2001, s. 465–588. Dostupné online. DOI:10.1007/s00039-001-0332-9. MR1844079. (anglicky)