Stavový popis systému

Stavový popis systému se používá pro systémy s více vstupy a výstupy, tzv. MIMO systémy. Používá se maticový zápis. Tento článek se zabývá stavovým popisem systému, který vzejde z linearizace typicky nelineárních diferenciálních rovnic v okolí takzvaného pracovního bodu, který bývá ekvilibriem. Poté stavový popis dobře popisuje chování systému jen v okolí tohoto pracovního bodu lineární aproximací, což se dá použít pro lineární řízení.

Pojmy

• Stav systému - Je to nejmenší počet stavových proměnných, určuje ho stavový vektor
• Stavový vektor - Jde o sloupcový vektor často značený $\mathbf {x} (t)$, jehož složky tvoří stavové proměnné
• Stavové proměnné - Jde o časové funkce, které určují stav dynamického systému
• Stavový prostor - $n$-rozměrný prostor reálných čísel ${\mathcal {R}}^{n}$
• Vektor vstupů - Jde o sloupcový vektor $\mathbf {u} (t)$
• Vektor výstupů - Jde o sloupcový vektor $\mathbf {y} (t)$
• Stavové rovnice - Určují vazbu mezi stavem a vstupy a výstupy systému. Jsou dvě, zde popsané jsou lineární, časově invariantní.
• Stavová trajektorie - Stav je vektor, jehož poloha se mění a na konci vytváří křivku

První stavová rovnice

Umožňuje vazbu derivace stavové proměnné na libovolný vstup nebo výstup. Rovnice je

${\frac {d\mathbf {x} (t)}{dt}}=\mathbf {Ax} (t)+\mathbf {Bu} (t)$

Druhá stavová rovnice

Určuje vztah mezi vektorem výstupu a vektorem vstupu a vektorem stavu

$\mathbf {y} (t)=\mathbf {Cx} (t)+\mathbf {Du} (t)$

Koeficienty rovnic

Obecné stavové schéma systému

$\mathbf {A}$ - matice vnitřních vazeb systému (matice systému)

$\mathbf {B}$ - matice vazeb systému na vstup (matice řízení)

$\mathbf {C}$ - matice vazeb výstupu na stav

$\mathbf {D}$ - matice vazeb vstupu na výstup. Z hlediska dynamických vlastností je vliv zanedbatelný a považuje se často za nulový.

Určení matice přenosových funkcí ze stavového popisu

Jde o jednoznačný převod, v podstatě se jedná o řešení obou stavových rovnic po provedení Laplaceovy transformace. Matice $\mathbf {A}$, $\mathbf {B}$, $\mathbf {C}$ a $\mathbf {D}$ jsou známé. Matice $\mathbf {I} \in {\mathcal {R}}^{n\times n}$ je jednotková matice. Řešením je rovnice

$\mathbf {G} (s)={\frac {\mathbf {Y} (s)}{\mathbf {U} (s)}}=\mathbf {C} {(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )}^{-1}\mathbf {B} +\mathbf {D} =\mathbf {C} {\frac {1}{\mathrm {det} {(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )}}}{\mathrm {adj} {(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )}}\mathbf {B} +\mathbf {D}$.

Výraz $\mathrm {det} (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )$ nazveme charakteristickým polynomem systému a kořeny tohoto polynomu nazveme póly systému. Poloha těchto pólů v komplexní rovině určuje stabilitu systému (leží-li alespoň jeden pól napravo od imaginární osy, je systém nestabilní).

Určení stavového popisu z jednorozměrných přenosů

Převod není jednoznačný používají se tři algoritmy

• Přímé programování
• Paralelní programování
• Sériové programování

Literatura

• I.Švarc, M.Šeda, M.Vítečková. Automatické řízení
• P.Blaha, P.Vavřín. Řízení a regulace 1. Skriptum VUT