Limita posloupnosti: Porovnání verzí

Platí, že každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.

 

Budeme dokazovat [[důkaz sporem|sporem]]. Předpokládejme tedy, že nějaká posloupnost <math>\left(a_i\right)_{i=1}^\infty</math> má dvě limity: <math>A</math> a <math>B</math>, přičemž <math>A \neq B</math>.

 

Tedy vzdálenost <math>a_k</math> od bodu <math>A</math> i od bodu <math>B</math> je menší, než polovina vzdálenosti těchto dvou bodů, dostáváme tedy spor.

 

Pokud k libovolnému číslu <math>\varepsilon>0</math> existuje [[přirozené číslo]] <math>n_0</math> takové, že pro všechna <math>n>n_0</math> platí <math>|a_n-A|<\varepsilon</math>, pak říkáme, že posloupnost <math>(a_n)</math> má (''vlastní'', ''konečnou'') ''limitu'' <math>A</math>, popř. že ''posloupnost konverguje'' k číslu <math>A</math>. Konvergenci posloupnosti k <math>A</math> zapisujeme

:<math>\lim_{n \to \infty} a_n = A</math>

Říkáme, že posloupnost je

* '''konvergentní''', pokud má [[Vlastní limita|vlastní limitu]]

* '''oscilující''', pokud nemá vlastní ani nevlastní limitu.

<!-- ToDo:Příklady -->

 

== Konvergence řady ==

{{Pahýl část}}

 

== Bodová a stejnoměrná konvergence ==

O [[posloupnost (matematika)|funkční posloupnosti]] <math>(f_n(x))</math> říkáme, že '''(bodově) konverguje''' k '''limitní funkci''' <math>f(x)</math>, pokud pro každé <math>x_0 \in \mathbf{I}</math> existuje vlastní limita <math>\lim_{n \to \infty} f_n(x_0)=f(x_0)</math>. Pokud uvedená limita neexistuje, pak posloupnost <math>(f_n(x))</math> označíme jako '''divergentní'''.

 

Pokud lze pro libovolné <math>\varepsilon>0</math> najít takové <math>n_0</math>, které je stejné pro všechny body <math>x \in \mathbf{I}</math>, a pro všechna <math>n>n_0</math> a všechny body <math>x \in \mathbf{I}</math> platí

Pokud jsou funkce <math>f_n(x)</math> na intervalu <math>\mathbf{I}</math> [[spojitá funkce|spojité]] a posloupnost <math>(f_n(x))</math> je na <math>\mathbf{I}</math> stejnoměrně konvergentní, pak je na intervalu <math>\mathbf{I}</math> spojitá také limitní funkce <math>f(x)</math>.

 

Mějme dvě [[konvergentní]] posloupnosti <math>(a_n), (b_n)</math>, pro které platí <math>\lim_{n \to \infty}a_n=a, \lim_{n \to \infty} b_n=b</math>. Pak následující posloupnosti jsou také konvergentní.

:<math>\lim_{n \to \infty}(a_n \pm b_n)=a \pm b</math>

:<math>\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b} \; \mbox{ pro } b\ne 0</math>

Z posloupnosti <math>(b_n)</math> jsou vynechány všechny [[nula|nulové]] členy, kterých je konečný počet, neboť <math>b \ne 0</math>.

 

Máme-li dvě konvergentní posloupnosti <math>(a_n), (b_n)</math>, pro které platí <math>\lim_{n \to \infty} a_n=a, \lim_{n \to \infty}b_n=b</math>, pak jestliže pro každé <math>n</math> je <math>a_n \leq b_n</math>, pak je také <math>a \leq b</math>.

 

Je-li <math>(a_{k_n})</math> podposloupnost posloupnosti <math>(a_n)</math> a platí <math>\lim_{n \to \infty} a_n=a</math>, pak platí také <math>\lim_{n \to \infty} a_{k_n}=a</math>.

 

Platí ''[[Bernard Bolzano|Bolzano]]-[[Karl Weierstrass|Weierstrassova]] věta'': Je-li <math>\mathit(a_n)</math> omezená posloupnost v <math>\mathbb{R}</math>, pak z ní lze vybrat posloupnost <math>\mathit(a_{k_n})</math>, která je [[konvergence|konvergentní]].

 

{{Portály|Matematika}}

[[Kategorie:Matematické posloupnosti a řady]]