Rekurzivní Bayesův odhad

Rekurzivní Bayesův odhad (též Bayesův filtr) je v informatice označení pro obecný pravděpodobnostní rekurzivní přístup v čase k odhadu neznámé funkce míry pravděpodobnosti využívající měření příchozích dat a matematického modelování tohoto procesu.

V robotice

Bayesův filtr je algoritmus využívaný v informatice pro výpočet možností na základě pravděpodobnosti, které dovolují robotu odvodit jeho polohu a orientaci. V podstatě umožňuje Bayesův filtr robotům neustále aktualizovat jejich nejpravděpodobnější pozici v systému souřadnic na základě nejaktuálnějších dat získaných ze senzorů. Je to rekurzivní algoritmus a sestává ze dvou částí: předpovědi a aktualizace. Pokud jsou hodnoty proměnných lineární a normálně rozděleny, je Bayesův filtr shodný s Kalmanovým filtrem.

Zjednodušeně řečeno, robot pohybující se po celé ploše (mřížce) může mít několik různých senzorů, které mu poskytují informace o jeho okolí. Robot tedy může začít s jistotou, že je na pozici (0, 0). Avšak se zvětšující se vzdáleností od jeho výchozí pozice má robot stále menší jistotu ohledně jeho polohy. Za pomoci Bayesova filtru se může robot rozhodnout o jeho pravděpodobné aktuální poloze a tato pravděpodobná pozice může být neustále aktualizována na základě dodatečných dat ze senzorů.

Model

Jako skutečný stav $x$ se předpokládá nepozorovaný Markovův proces, měřením $z$ jsou pozorovány stavy skrytého Markovova modelu (HMM). Následující obrázek znázorňuje Bayesovu síť skládající se z HMM.

Hidden Markov Model

Vzhledem k Markovovu předpokladu, je pravděpodobnost aktuálního skutečného stavu dána pouze bezprostředně předcházejícím stavem a není závislá na ostatních předešlých stavech.

$p({\textbf {x}}_{k}|{\textbf {x}}_{k-1},{\textbf {x}}_{k-2},\dots ,{\textbf {x}}_{0})=p({\textbf {x}}_{k}|{\textbf {x}}_{k-1})$

Obdobně, měření v k-tém čase je závislé pouze na současném stavu a nikoli na ostatních předešlých stavech vzhledem k tomu současnému.

$p({\textbf {z}}_{k}|{\textbf {x}}_{k},{\textbf {x}}_{k-1},\dots ,{\textbf {x}}_{0})=p({\textbf {z}}_{k}|{\textbf {x}}_{k})$

Pomocí těchto předpokladů lze rozdělení pravděpodobnosti pro všechny stavy zapsat jednoduše jako:

$p({\textbf {x}}_{0},\dots ,{\textbf {x}}_{k},{\textbf {z}}_{1},\dots ,{\textbf {z}}_{k})=p({\textbf {x}}_{0})\prod _{i=1}^{k}p({\textbf {z}}_{i}|{\textbf {x}}_{i})p({\textbf {x}}_{i}|{\textbf {x}}_{i-1}).$

Avšak při využití Kalmanova filtru k odhadu stavu x je rozložení pravděpodobnosti zájmu spojeno s aktuálními stavy, které jsou podmíněny měřeními v aktuálním čase (toho je dosaženo odsunutím předchozích stavů a vydělením pravděpodobnosti počtem měření).

Toto vede k předpovědi a změně kroků v Kalmanově filtru pravděpodobnostním zápisem. Rozdělení pravděpodobnosti spojené s předpokládaným stavem je součet (integrál) součinů rozdělení pravděpodobnosti spojené s přechodem z (k - 1)-tého stavu do k-tého a rozdělení pravděpodobnosti spojené s předchozím stavem pro všechna možná $x_{k_{-}1}$.

$p({\textbf {x}}_{k}|{\textbf {z}}_{k-1})=\int p({\textbf {x}}_{k}|{\textbf {x}}_{k-1})p({\textbf {x}}_{k-1}|{\textbf {z}}_{k-1})\,d{\textbf {x}}_{k-1}$

Změna rozložení pravděpodobnosti je úměrná součinu měření pravděpodobnosti a předpovídaného stavu.

$p({\textbf {x}}_{k}|{\textbf {z}}_{k})={\frac {p({\textbf {z}}_{k}|{\textbf {x}}_{k})p({\textbf {x}}_{k}|{\textbf {z}}_{k-1})}{p({\textbf {z}}_{k}|{\textbf {z}}_{k-1})}}=\alpha \,p({\textbf {z}}_{k}|{\textbf {x}}_{k})p({\textbf {x}}_{k}|{\textbf {z}}_{k-1})$

Jmenovatel

$p({\textbf {z}}_{k}|{\textbf {z}}_{k-1})=\int p({\textbf {z}}_{k}|{\textbf {x}}_{k})p({\textbf {x}}_{k}|{\textbf {z}}_{k-1})d{\textbf {x}}_{k}$

je konstantně relativní k $x$, takže ho vždy můžeme nahradit koeficientem $\alpha$, který může být obvykle v praxi ignorován. Čitatele je pak možné vypočítat a jednoduše normalizovat, jelikož jeho nedílnou součástí musí být jednotka.

Aplikace

• Kalmanův filtr využívá rekurzivní Bayesiánský filtr pro multivariační normální rozdělení
• Particle filter na základě sekvenční techniky Monte Carlo metody (SMC), která modeluje PDF za pomoci sady diskrétních bodů
• Grid-based odhady, které rozdělí PDF do diskrétní mřížky

Sekvenční Bayesiánské filtrování

Sekvenční Bayesiánské filtrování je rozšíření Bayesianova odhadu v případě, kdy se pozorované hodnoty s časem mění. Je to způsob, jak odhadnout reálnou hodnotu pozorované proměnné, která se vyvíjí v čase.

Metoda se nazývá:

filtrování

když odhadujeme aktuální hodnotu danou předchozími měřeními,

vyhlazování

při odhadování minulých hodnot daných současnými a minulými měřeními,

předpovídání

při odhadu pravděpodobné budoucí hodnoty.

Pojem Sekvenční Bayesiánské filtrování je velmi využíván v řízení a robotice.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Recursive Bayesian estimation na anglické Wikipedii.

Externí odkazy

• ARULAMPALAM, M. Sanjeev; MASKELL, Simon; GORDON, Neil. A Tutorial on Particle Filters for On-line Non-linear/Non-Gaussian Bayesian Tracking. IEEE Transactions on Signal Processing. 2002, s. 174–188. Dostupné online. 
• DIARD, Julien; BESSIÈRE, Pierre; MAZER, Emmanuel. A survey of probabilistic models, using the Bayesian Programming methodology as a unifying framework [online]. cogprints.org, 2003. Dostupné online. 
• Feynman-Kac models and interacting particle algorithms (a.k.a. Particle Filtering) Theoretical aspects and a list of application domains of particle filters