Projekce (lineární algebra)

lineární operátor, který nemění své obrazy

V lineární algebře a funkcionální analýze je projekce lineární transformace nějakého vektorového prostoru na sebe taková, že . To znamená, že pokud aplikujeme na jakoukoli hodnotu opakovaně, výsledek je stejný, jako kdybychom ji použili jen jednou (je to idempotentní zobrazení, které nemění prostor svých obrazů).[1] Tato definice formalizuje a zobecňuje myšlenku geometrické projekce.

DefiniceEditovat

Projekce na vektorovém prostoru   je lineární operátor   takový, že  .

Pokud  skalární součin a je úplný (tj. když   je Hilbertův prostor), lze použít pojem ortogonality. Projekce   na Hilbertově prostoru   se nazývá ortogonální projekce, pokud platí   pro všechny  . Projekce na Hilbertově prostoru, která není ortogonální, se nazývá šikmá projekce.

Projekční maticeEditovat

  • V konečnědimenzionálním případě se čtvercová matice   nazývá projekční matice, pokud se rovná svému čtverci, tzn  . [2]:s.p. 38
  • Čtvercová matice   se nazývá ortogonální projekční matice, pokud   pro reálnou matici, resp   pro komplexní matici, kde   označuje transponování   a   označuje hermitovsky sdruženou matici k  .[3] :s.p. 223
  • Projekční matice, která není ortogonální, se nazývá šikmá projekční matice .

Vlastní hodnoty projekční matice musí být 0 nebo 1.

PříkladyEditovat

Ortogonální projekceEditovat

Například funkce, která mapuje bod   v trojrozměrném prostoru   do bodu  , je ortogonální projekce na rovinu určenou souřadnými osami x a y . Tato funkce je reprezentována maticí

 

Akce této matice na obecný vektor je

 

Že   je skutečně projekce, tj.  , dokážeme takto:

 .

Jelikož  , tak tato projekce je ortogonální.

Šikmá projekceEditovat

Jednoduchý příklad neortogonální (šikmé) projekce je

 

Prostřednictvím násobení matic vidíme

 

To dokazuje, že   je opravdu projekce.

Projekce   je ortogonální tehdy a jen tehdy, jestliže  , protože teprve potom   .

Vlastnosti a klasifikaceEditovat

 
Transformace T je projekce podél k na m. Oborem hodnot T je m a nulový prostor je k..

IdempotenceEditovat

Podle definice je každá projekce   idempotent (tj   ).

Komplementarita oboru hodnot a jádraEditovat

Nechť   je konečnorozměrný vektorový prostor a   projekce na  . Předpokládejme, že podprostory   a   jsou obraz a jádro  . Pak   má následující vlastnosti:

  1.   je operátor identity   na  
      .
  2. Lze psát  , tj. každý vektor   může být jedinečně rozložen jako  , přičemž   a  , a  .

Obraz a jádro projekce jsou komplementární stejně jako jsou komplementární operátory   a   . Operátor   je také projekce, jejíž obraz je jádro  , a jeho jádro naopak obrazem  .

SpektrumEditovat

I ve vektorových prostorech nekonečné dimenzí (stejně jako u konečné dimenze) je spektrum projekce obsaženo v množině  , jelikož

 

Pouze 0 nebo 1 může být vlastním číslem projekce, což značí, že   je vždy pozitivně semi-definitivní operátor/matice. Odpovídající vlastní prostory jsou jádrem a obrazem projekce. Rozklad vektorového prostoru na přímé součty není obecně jedinečný. Proto k podprostoru   může existovat mnoho různých projekcí, jejichž obraz (nebo jádro) je   .

Pokud je projekce netriviální, má minimální polynom  , který má různé kořeny, a tedy   je diagonalizovatelná.

Součin projekcíEditovat

Součin projekcí není sám obecně projekcí, i když jde o součin ortogonálních projekcí. Pokud projekce komutují, je jejich součin projekcí.

ReferenceEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Projection (linear algebra) na anglické Wikipedii.

  1. Meyer, pp 386+387
  2. [s.l.]: [s.n.] ISBN 9780521839402. 
  3. [s.l.]: [s.n.] ISBN 9780521839402.