Perfektní mocnina

Perfektní mocnina je číslo, které lze zapsat jako přirozenou mocninu jiného přirozeného čísla.

Formální definice: je perfektní mocnina, pokud existují přirozená čísla , a , pro která platí, že .

Příklady a součtyEditovat

Posloupnost takových mocnin může být generována pro možné hodnoty m a k. Příklad:[1]

 

VlastnostiEditovat

SoučetEditovat

Součet převrácených hodnot takových čísel (každé číslo počítáme i s násobností, pokud ho lze vyjádřit více způsoby jako nk) je 1:

 

Důkaz:

 

Goldbachova-Eulerova větaEditovat

Podle Eulera, Goldbach ukázal že součet   přes množinu perfektních mocnin  , vyjma čísla 1 je 1:

 

Známé jako Goldbachova-Eulerova věta.

Hledání celočíselných mocninEditovat

Zjištění, zda   je mocnina, může probíhat mnoha různými způsoby, s různou úrovní složitosti. Jednou z jednodušších metod je zvážit všechny možné hodnoty   přes všechny dělitele  , až do  . Jestliže tedy dělitelé   jsou   pak jedna z hodnot   musí být rovna   jestliže   je mocnina.

Tato metoda může být zjednodušena pokud   hodnoty jsou prvočísla. To protože pokud   pro složené číslo   kde   je prvočíslo, můžeme jednoduše přepsat jako  . Minimální hodnota   je 2.

OdkazyEditovat

ReferenceEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Powerful number na anglické Wikipedii.

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat