Integrace per partes (integrace po částech) se používá pro integrování součinu funkcí. Tato metoda je založena na větě o derivaci součinu:

Uplatněním této věty na podmínky pro integrál vzniknou následující vzorce:

Úpravou druhé rovnice vznikne metoda integrace označovaná per partes:

Druhý vztah získáme pouhou záměnou .

Vztah pro integraci po částech bývá také vyjadřován pomocí diferenciálu jako

Metoda per partes je vhodná pro integrování součinu funkcí. Při hledání integrálu lze metodu per partes použít opakovaně.

Per partes pro neurčitý integrálEditovat

VětaEditovat

Nechť   a   mají v intervalu   spojitou první derivaci. Potom v intervalu   platí: [1]

 

PříkladyEditovat

  •  , kde bylo použito  
  • Pro nalezení   položíme  , takže dostaneme  . Pro řešení získaného integrálu použijeme opět metodu per partes, přičemž položíme  , tzn.  . Dosazením pak získáme konečný výsledek  


Rychlá výpočetní metoda per partesEditovat

Rychlá výpočetní metoda není rozšířením metody per partes. Jedná se o mnemotechnickou pomůcku usnadňující zapamatování postupu výpočtu, jeho zpřehlednění a následně usnadní i kontrolu.

Formálně je možné metodu naznačit následovně:

 

Při integraci součinu dvou funkcí se vytvoří dvousloupcová tabulka, kde se v prvním sloupci derivuje jeden z činitelů a ve druhém sloupci se integruje druhý. V každém kroku (řádku) tabulky si klademe otázku zda jsme schopni integrovat součin na daném řádku. Pokud ne, vytvoří se další řádek. Pokud ano, doplní se šipky (   ) a zapíše výsledek.

Příklady použitíEditovat

A) Klasické použití rychlé metody per partes (čtyřnásobné):

 

B) Zacyklení v případech integrace součinu exponenciálních a goniometrických funkcí:

 


tj.  

C) Rozšíření na součin v případech kdy má smysl pracovat s derivací integrandu:

 


 

Užití per partes k odvození vzorcůEditovat

Primitivní funkceEditovat

 


atd.   [1] [2]


Rekurentní vzorceEditovat

 


atd.   [1] [2]

Per partes pro určitý integrálEditovat

VětaEditovat

Nechť   a   mají v intervalu   spojitou první derivaci. Potom v intervalu   platí: [1]

 

Zápis   je zápis použitý v Newton-Leibnizově vzorci pro výpočet Newtonova určitého integrálu.

PříkladEditovat

 , kde bylo použito  ,  

Rychlá výpočetní metoda per partesEditovat

 

OdkazyEditovat

ReferenceEditovat

  1. a b c d KAREL REKTORYS A SPOLUPRACOVNÍCI. Přehled užité matematiky. 7. vyd. Praha: Prometheus, 2000. ISBN 8071961795.
  2. a b BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 3., rev. vyd. Přeložil Zdeněk TICHÝ. Praha: Mladá fronta, 1996. ISBN 80-2040607-7.

Externí odkazyEditovat

Související článkyEditovat