Neúplná gama funkce

Neúplná gama funkce je označení dvojice matematických funkcí odvozených z definice gama funkce. Jejich definicí je integrál ze stejné funkce, kterou je definována gama funkce, liší se pouze jeho meze, z nichž jedna je vždy druhým z argumentů neúplné gama funkce.

Definice

Horní gama funkce je definována předpisem

$\Gamma (s,x)=\int _{x}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm {d}}t,\,\!$

Dolní gama funkce je definována předpisem

$\gamma (s,x)=\int _{0}^{x}t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm {d}}t.\,\!$

Vlastnosti

Pro komplexní parametr s s reálnou složkou kladnou platí na základě pravidla per partes následující rekurentní vztahy:

$\Gamma (s+1,x)=s\Gamma (s,x)+x^{s}e^{-x}$

a

$\gamma (s+1,x)=s\gamma (s,x)-x^{s}e^{-x}.$

Protože gama funkce je definována

$\Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm {d}}t$

platí také

$\Gamma (s)=\Gamma (s,0)=\lim _{x\to \infty }\gamma (s,x)$

a

$\gamma (s,x)+\Gamma (s,x)=\Gamma (s).$

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Incomplete gamma function na anglické Wikipedii.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu neúplná gama funkce na Wikimedia Commons

Portály: Matematika