Mayerův vztah

souvislost mezi molárními tepelnými kapacitami ideálního plynu
(přesměrováno z Mayerova rovnice)

Mayerův vztah popisuje souvislost mezi molárními tepelnými kapacitami při konstantním tlaku a při konstantním objemu, platný přesně pro ideální plyn. Je pojmenován po svém objeviteli, německém fyzikovi Juliu von Mayerovi.

Pro ideální plyn nabývá známého tvaru:

kde:

je molární plynová konstanta (zhruba 8,314 J·K−1·mol−1),
je měrná molární tepelná kapacita při stálém tlaku a
je měrná molární tepelná kapacita při stálém objemu.

Pro obecný termodynamický systém jednotkového látkového množství platí:

kde:

je teplotní roztažnost,
Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): {\displaystyle \beta_{T} } izotermická stlačitelnost a
Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): {\displaystyle V, T } jsou objem a termodynamická teplota.

Odvození pro ideální plyn[1]Editovat

Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): {\displaystyle C_p - C_V = \left( \frac{\partial H}{\partial T}\right)_p - \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V = \left( \frac{\partial (U+pV)}{\partial T}\right)_p - \left( \frac{\partial U}{\partial T}\right)_V = \left( \frac{\partial U}{\partial T}\right)_p + p\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right)_p - \left( \frac{\partial U}{\partial T}\right)_V }

Entalpie Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): {\displaystyle H } je definována vztahem

 

kde   je vnitřní energie soustavy,   je její tlak a   objem.

Vnitřní energie je funkcí teploty a objemu, tudíž   je nutno přepsat jako  

Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): {\displaystyle \left( \frac{\partial U(T,V(p,T))}{\partial T}\right)_p = \left( \frac{\partial U}{\partial T}\right)_V + \left( \frac{\partial U}{\partial V}\right)_T\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right)_p }

Po dosazení do odvození dostaneme

 

Z diferenciálu definice vnitřní energie a Maxwellových relací dostaneme

 

Dalším dosazením do odvození se výraz změní na

 

Ze vzorce derivace implicitní funkce

 

vyjádříme

Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): {\displaystyle \left(\frac {\partial V}{\partial T}\right)_p=-\frac{\left(\frac {\partial p}{\partial T}\right)_V}{\left(\frac {\partial p}{\partial V}\right)_T} }

Opět dosadíme

Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): {\displaystyle C_p - C_V = -T\frac{\left(\frac {\partial p}{\partial T}\right)^2_V}{\left(\frac {\partial p}{\partial V}\right)_T} }

Ze stavové rovnice ideálního plynu

 

vyjádříme

Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): {\displaystyle p=\frac{nRT}{V} }

a

Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): {\displaystyle \left(\frac {\partial p}{\partial T}\right)_V = \frac{nR}{V}; \left(\frac {\partial p}{\partial V}\right)_T = -\frac {nRT}{V^2} }

Znovudosazením do odvození

Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): {\displaystyle C_p - C_V = -T\frac{\left(\frac{n^2R^2}{V^2}\right)}{\left(-\frac {nRT}{V^2}\right)} }

dostaneme výsledný Mayerův vztah

 

 

 

ReferenceEditovat

  1. NOVÁK, Josef. Prof. Ing.. Praha: Vydavatelství VŠCHT, 1999. 229 s. ISBN 80-7080-360-6. S. 109–110. 

Související článkyEditovat