Mayerův vztah

Mayerův vztah popisuje souvislost mezi molárními tepelnými kapacitami při konstantním tlaku a při konstantním objemu, platný přesně pro ideální plyn. Je pojmenován po svém objeviteli, německém fyzikovi Juliu von Mayerovi.

Pro ideální plyn nabývá známého tvaru:

$c_{p}=c_{V}+R_{m},$

kde:

$R_{m}$ je molární plynová konstanta (zhruba 8,314 J·K⁻¹·mol⁻¹),

$c_{p}$ je měrná molární tepelná kapacita při stálém tlaku a

$c_{V}$ je měrná molární tepelná kapacita při stálém objemu.

Pro obecný termodynamický systém jednotkového látkového množství platí:

$C_{P}-C_{V}=VT{\frac {\alpha ^{2}}{\beta _{T}}},$

kde:

$\alpha$ je teplotní roztažnost,

Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): {\displaystyle \beta_{T} } izotermická stlačitelnost a

Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): {\displaystyle V, T } jsou objem a termodynamická teplota.

Odvození pro ideální plyn

Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): {\displaystyle C_p - C_V = \left( \frac{\partial H}{\partial T}\right)_p - \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V = \left( \frac{\partial (U+pV)}{\partial T}\right)_p - \left( \frac{\partial U}{\partial T}\right)_V = \left( \frac{\partial U}{\partial T}\right)_p + p\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right)_p - \left( \frac{\partial U}{\partial T}\right)_V }

Entalpie Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): {\displaystyle H } je definována vztahem

$H=U+pV$

kde $U$ je vnitřní energie soustavy, $p$ je její tlak a $V$ objem.

Vnitřní energie je funkcí teploty a objemu, tudíž $\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{p}$ je nutno přepsat jako $\left({\frac {\partial U(T,V(p,T))}{\partial T}}\right)_{p}$

Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): {\displaystyle \left( \frac{\partial U(T,V(p,T))}{\partial T}\right)_p = \left( \frac{\partial U}{\partial T}\right)_V + \left( \frac{\partial U}{\partial V}\right)_T\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right)_p }

Po dosazení do odvození dostaneme

$C_{p}-C_{V}=p\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}+\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}\left[p+\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}\right]$

Z diferenciálu definice vnitřní energie a Maxwellových relací dostaneme

$\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{p}-p=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p$

Dalším dosazením do odvození se výraz změní na

$C_{p}-C_{V}=T\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}$

Ze vzorce derivace implicitní funkce

$\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}\left({\frac {\partial T}{\partial p}}\right)_{V}\left({\frac {\partial p}{\partial V}}\right)_{T}=-1$

vyjádříme

Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): {\displaystyle \left(\frac {\partial V}{\partial T}\right)_p=-\frac{\left(\frac {\partial p}{\partial T}\right)_V}{\left(\frac {\partial p}{\partial V}\right)_T} }

Opět dosadíme

Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): {\displaystyle C_p - C_V = -T\frac{\left(\frac {\partial p}{\partial T}\right)^2_V}{\left(\frac {\partial p}{\partial V}\right)_T} }

Ze stavové rovnice ideálního plynu

$pV=nRT$

vyjádříme

Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): {\displaystyle p=\frac{nRT}{V} }

a

Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): {\displaystyle \left(\frac {\partial p}{\partial T}\right)_V = \frac{nR}{V}; \left(\frac {\partial p}{\partial V}\right)_T = -\frac {nRT}{V^2} }

Znovudosazením do odvození

Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): {\displaystyle C_p - C_V = -T\frac{\left(\frac{n^2R^2}{V^2}\right)}{\left(-\frac {nRT}{V^2}\right)} }

dostaneme výsledný Mayerův vztah

$C_{p}-C_{V}=nR$

$c_{p}n-c_{V}n=nR$

$c_{p}-c_{V}=R$

Související články

• Poissonova konstanta

Portály: Fyzika