Luzinova věta

Luzinova věta říká, že libovolná borelovská funkce na množině konečné míry je spojitá na nějaké množině, jejíž míra je libovolně blízká míře původní množiny.

Důkaz je možné provést pomocí Jegorovovy věty.

Formulace

Nechť $D\subset \mathbb {R}$, $m(D)<\infty$, kde $m$ je Lebesgueova míra na množině reálných čísel $\mathbb {R}$ a $f:D\to \mathbb {R}$ je borelovská funkce.

Pak $\forall \varepsilon >0,\;\exists D_{\varepsilon }\subset D$, takové, že $m(D\setminus D_{\varepsilon })<\varepsilon$ a $f\upharpoonleft {D_{\varepsilon }}\in C(D_{\varepsilon })$, tj. restrikce funkce $f$ na $D_{\varepsilon }$ je spojitá funkce.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Теорема Лузина na ruské Wikipedii.

Literatura

• KOLMOGOROV, Andrej Nikolajevič. Elementy teorii funkcij i funkcionalnovo analiza. 4. vyd. Moskva: Nauka, 1976. 544 s. (rusky) 
• ŠILOV, Georgij Jevgeněvič. Matematičeskij analiz. Specialnyj kurs. 2. vyd. Moskva: Fizmatlit, 1961. 436 s. (rusky) 
• BOGAČEV, V. I. K istorii otkrytija teorem Jegorova i Luzina. Istoriko-matematičeskije issledovanija. 2009, roč. 13 (48). (rusky)