Legendrovy polynomy

Legendrovy polynomy $P_{n}(x),\,n=0,1,2,...$ jsou polynomy reálné proměnné $x$ definované na intervalu $\langle -1,1\rangle$ , které popsal Adrien-Marie Legendre roku 1782. Přitom $P_{n}(x)$ je polynom stupně $n$ . Legendrovy polynomy se používají především v matematické fyzice a lze je definovat několika různými vzájemně ekvivalentními způsoby. Jedním z nich je požadovat, aby

pro $n\neq m$ platilo $\int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx=0$ (podmínka vzájemné ortogonality Legendrových polynomů);
pro každé $n=0,1,2,...$ platilo $P_{n}(1)=1$ (normující podmínka).

Legendrovy polynomy jsou zvláštním případem Gegenbauerových polynomů, které zase jsou zvláštním případem Jacobiho polynomů, jednoho z klasických polynomiálních systémů matematiky. Legendrovy polynomy sudého stupně jsou sudé funkce a Legendrovy polynomy lichého stupně jsou liché funkce.

Prvních několik Legendrových polynomů je:

P_{0}(x)=1

P_{1}(x)=x

P_{2}(x)={\tfrac {1}{2}}(3x^{2}-1)

P_{3}(x)={\tfrac {1}{2}}(5x^{3}-3x)

P_{4}(x)={\tfrac {1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3)

P_{5}(x)={\tfrac {1}{8}}(63x^{5}-70x^{3}+15x)

Vlastnosti editovat

Rodriguesova formule a její důsledky editovat

Pro Legendrovy polynomy platí Rodriguesova formule (1818)

P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}\,,

jež umožňuje odvodit další vzorce, vyjadřující tyto polynomy explicitně, například

{\begin{aligned}P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}(x-1)^{n-k}(x+1)^{k},\\P_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{k},\\P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{[{\frac {n}{2}}]}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {2n-2k}{n}}x^{n-2k},\\P_{n}(x)&=2^{n}\sum _{k=0}^{n}x^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {\frac {n+k-1}{2}}{n}},\end{aligned}}

Generující funkce a rekurentní vztah editovat

Legendre své polynomy původně definoval pomocí generující funkce, tedy jako koeficienty Taylorova rozkladu:

{\frac {1}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}\,.

Derivováním této rovnice podle $t$ a algebraickými úpravami lze odvodit Bonnetovu rekurzivní formuli

(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)\,.

Legendre své polynomy objevil v souvislosti se studiem Newtonova potenciálu^[1] (gravitační potenciál hmotného bodu nebo Coulombův potenciál bodového náboje), který lze rozložit na sumu těchto polynomů:

{\frac {1}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+{r'}^{2}-2r{r'}\cos \gamma }}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {{R'}^{\ell }}{r^{\ell +1}}}P_{\ell }(\cos \gamma ),

kde r a r′ jsou délky vektorů x a x′ a γ je úhel mezi těmito vektory. Vyjádření může být užitečné například integrujeme-li potenciál přes spojitou distribuci hmoty nebo náboje.

Legendrova diferenciální rovnice a úplnost editovat

Legendrovy polynomy jsou řešeními diferenciální rovnice, pojmenované rovněž po Legendrovi:

{\frac {d}{dx}}\left[\left(1-x^{2}\right){\frac {dP_{n}(x)}{dx}}\right]+n(n+1)P_{n}(x)=0\,.

Z toho plyne, že tyto polynomy jsou vlastními vektory odpovídajícího diferenciálního operátoru:

{\frac {d}{dx}}\left(\left(1-x^{2}\right){\frac {d}{dx}}\right)P(x)=-\lambda P(x)\,,

z čehož lze dále podle Sturmovy–Liouvilleovy teorie odvodit, že jde o úplný a ortogonální systém polynomů na definičním intervalu.

Jako úplný a ortogonální systém polynomů mají Legendrovy polynomy tyto vlastnosti:

\int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx={\frac {2}{2n+1}}\delta _{mn},

kde $\delta _{mn}$ je Kroneckerovo delta, rovné jedné, pokud $m=n,$ a nule jinak.

Máme-li po částech spojitou funkci $f(x)$ na intervalu $\langle -1,1\rangle$ , tak suma

f_{n}(x)=\sum _{\ell =0}^{n}a_{\ell }P_{\ell }(x)

konverguje v průměru k $f(x)$ pro $n\to \infty$ , pokud vezmeme koeficienty jako

a_{\ell }={\frac {2\ell +1}{2}}\int _{-1}^{1}f(x)P_{\ell }(x)\,dx.

Reference editovat

↑ LEGENDRE, A.-M. Mémoires de Mathématiques et de Physique, présentés à l'Académie Royale des Sciences, par divers savans, et lus dans ses Assemblées. Paris: [s.n.], 1785. Kapitola Recherches sur l'attraction des sphéroïdes homogènes, s. 411–435. (French)

Externí odkazy editovat

Obrázky, zvuky či videa k tématu Legendreovy polynomy na Wikimedia Commons

[1] LEGENDRE, A.-M. Mémoires de Mathématiques et de Physique, présentés à l'Académie Royale des Sciences, par divers savans, et lus dans ses Assemblées. Paris: [s.n.], 1785. Kapitola Recherches sur l'attraction des sphéroïdes homogènes, s. 411–435. (French)

[1]