Legendreovy polynomy

Legendreovy polynomy jsou polynomy reálné proměnné definované na intervalu , které popsal Adrien-Marie Legendre roku 1782. Přitom je polynom stupně . Legendreovy polynomy se používají především v matematické fyzice a lze je definovat několika různými vzájemně ekvivalentními způsoby. Jedním z nich je požadovat, aby

  1. pro platilo (podmínka vzájemné ortogonality Legendreových polynomů);
  2. pro každé platilo (normující podmínka).
Prvních šest Legendreových polynomů

Legendreovy polynomy jsou zvláštním případem Gegenbauerových polynomů, které zase jsou zvláštním případem Jacobiho polynomů, jednoho z klasických polynomiálních systémů matematiky. Legendreovy polynomy sudého stupně jsou sudé funkce a Legendreovy polynomy lichého stupně jsou liché funkce.

Prvních několik Legendreových polynomů je:

VlastnostiEditovat

Rodriguesova formule a její důsledkyEditovat

Pro Legendreovy polynomy platí Rodriguesova formule (1818)

 

jež umožňuje odvodit další vzorce, vyjadřující tyto polynomy explicitně, například

 

Generující funkce a rekurentní vztahEditovat

Legendre své polynomy původně definoval pomocí generující funkce, tedy jako koeficienty Taylorova rozkladu:

 

Derivováním této rovnice podle   a algebraickými úpravami lze odvodit Bonnetovu rekurzivní formuli

 

Legendre své polynomy objevil v souvislosti se studiem Newtonova potenciálu[1] (gravitační potenciál hmotného bodu nebo Coulombův potenciál bodového náboje), který lze rozložit na sumu těchto polynomů:

 

kde r a r′ jsou délky vektorů x a x′ a γ je úhel mezi těmito vektory. Vyjádření může být užitečné například integrujeme-li potenciál přes spojitou distribuci hmoty nebo náboje.

Legendreova diferenciální rovnice a úplnostEditovat

Legendreovy polynomy jsou řešeními diferenciální rovnice, pojmenované rovněž po Legendreovi:

 

Z toho plyne, že tyto polynomy jsou vlastními vektory odpovídajícího diferenciálního operátoru:

 

z čehož lze dále podle Sturmovy–Liouvilleovy teorie odvodit, že jde o úplný a ortogonální systém polynomů na definičním intervalu.

Jako úplný a ortogonální systém polynomů mají Legendreovy polynomy tyto vlastnosti:

 

kde   je Kroneckerovo delta, rovné jedné, pokud   a nule jinak.

Máme-li po částech spojitou funkci   na intervalu  , tak suma

 

konverguje v průměru k   pro  , pokud vezmeme koeficienty jako

 

ReferenceEditovat

  1. LEGENDRE, A.-M. Mémoires de Mathématiques et de Physique, présentés à l'Académie Royale des Sciences, par divers savans, et lus dans ses Assemblées. Paris: [s.n.], 1785. Kapitola Recherches sur l'attraction des sphéroïdes homogènes, s. 411–435. (French)