Hypotéza singulárních kardinálů

Hypotéza singulárních kardinálů (někdy také označovaná zkratkou SCH) je tvrzení z oboru teorie množin, které (pokud je přijato) zjednodušuje výpočet kardinální mocniny.

Toto tvrzení bylo formulováno R.Solovayem v roce 1974 v následujícím tvaru:

Formulace hypotézyEditovat

Pro každý singulární kardinál   platí
 

Hypotézu lze ekvivalentně formulovat také:

  • Jestliže pro nekonečné kardinální číslo   platí nerovnost  , pak  , kde   značí následníka  .


Postavení hypotézy v teorii množinEditovat

Jak sám název napovídá, jedná se o hypotézu – tj. tvrzení, které zatím nebylo dokázáno z axiomů teorie množin a jsou dobré důvody se domnívat, že ani dokazatelné není.
SCH je důsledkem zobecněné hypotézy kontinua, což mimo jiné znamená, že je bezesporná s axiomy ZF – to vyplývá z bezespornosti samotné zobecněné hypotézy kontinua. Mezi oběma hypotézami ale neplatí ekvivalence – SCH je tedy „slabší“ tvrzení. Menachem Magidor roku 1977 dokázal, že SCH není dokazatelná v ZFC, pokud je existence superkompaktního kardinálu bezesporná s axiomy ZFC.

Význam hypotézyEditovat

Hlavním významem SCH je, že podstatným způsobem zjednodušuje výpočet kardinální mocniny. Jsou-li   a   libovolné nekonečné kardinály, pak (za předpokladu přijetí SCH) platí:

  •   , pokud  
  •   , pokud   a  
  •   , pokud   a  

Související článkyEditovat