Hartiganova klasifikace struktur blízkosti

Matematik a statistik John Anthony Hartigan (* 1937 Sydney) v roce 1967 rozlišil dvanáct základních struktur proximity, tedy dvanáct způsobů, jak je možno na množině objektů $O$ plausibilně definovat strukturu $S$ podobnosti nebo blízkosti („proximity“) jednotlivých objektů:

1. $S$ definuje na množině objektů $O$ Euklidovskou metriku
2. $S$ definuje na $O$ metriku
3. $S$ definuje na dvojicích objektů $O\times O$ symetrickou reálnou funkci
4. $S$ definuje na $O\times O$ reálnou funkci
5. $S$ zavádí na $O\times O$ lineární uspořádání; speciálně tedy podobnost dvojic nemusí být reálně ohodnocena, ale pro každé dvě dvojice jsme schopni rozhodnout, zda první si je podobnější než druhá nebo naopak
6. $S$ zavádí na $O\times O$ uspořádání, ne nutně úplné - tato varianta připouští neporovnatelné dvojice dvojic
7. $S$ zavádí na $O$ strukturu stromu, která sekundárně definuje částečné [uspořádání] podobnosti dvojic objektů: $(r,s)\prec (r',s')$, jestliže $sup(r,s)\geq sup(r',s')$. $sup(r,s)$ je nejbližší společný předchůdce $r,s$ v rámci stromu definovaného $S$
8. $S$ definuje pro každý objekt $r\in O$ úplné uspořádání $\preceq _{r}$ "je podobnější $r$ " na objektech $O$. $\preceq _{r}$ tedy dokáže pro každé jiné dva prvky $s,s'\in O$ rozhodnout, který z nich je podobnější $r$
9. $S$ definuje pro každý objekt $r\in O$ částečné uspořádání $\preceq _{r}$ "je podobnější $r$ " na objektech $O$
10. $S$ rozděluje $O\times O$ na dvě disjunktní množiny: "podobné páry" a "nepodobné páry"
11. $S$ rozděluje $O\times O$ na tři vzájemně disjunktní množiny: "podobné páry", "nepodobné páry" a "nerozhodnuto"
12. $S$ definuje $O$ relaci ekvivalence; objekty jsou si podobné právě tehdy, leží-li ve stejné třídě ekvivalence