Grupoid (teorie kategorií)

Grupoid (teorie kategorií) je pojem z matematiky, přesněji z homotopické teorie a teorie kategorií. Grupoid zachycuje vlastnosti několika matematických struktur souvisejících s (neúplnými) symetriemi, konexemi, homotopií ad. Lze pomocí něj zachytit ale i strukturu excitací a deexcitací elektronů v obalu atomu.

DefiniceEditovat

Kategorii   nazveme grupoid, pokud je každý morfizmus v   mezi libovolnými dvěma objekty kategorie   izomorfizmem.

PříkladyEditovat

GrupaEditovat

Grupa je grupoid s jedním objektem. Objasněme tento příklad. Nechť   je kategorie s jedním objektem  , v níž každý morfizmus je izomorfizmus. Sestrojme grupu  , jejíž prvky jsou právě všechny morfizmy z  , tj. elementy  . Pro   definujme   následovně. Jelikož  , jsou   i   morfizmy, které lze skládat (viz teorii kategorií). Výsledkem je morfizmus  , tj. prvek z  . Neutrální prvek v   je definitoricky identita   na  , která je dle definice kategorie jediná. Inverze k   se definuje jako inverzní morfizmus k  , který existuje dle definice grupoidu a je jediný dle definice kategorie. Asociativita na   definovaného násobení plyne snadno z definice kategorie, kde je asociativita podmínkou, která musí být splněna pro operaci skládání morfizmů.

Obráceně lze ke každé grupě přiřadit jednoprvkový grupoid a tato konstrukce je inverzní ke konstrukce popsané v odstavci výše.

Symetrie dlaždičekEditovat

Představme si, že máme stěnu pokrytou dlaždičkami stejného obdélníkového tvaru o rozměrech 3 krát 4. Předpokládejme, že dlaždičky vyplňují právě obdélníkovou síť skládající se z např. 5 krát 7 dlaždiček. Zaveďme kartézskou souřadnou soustavu v rovině dlaždiček tak, že její počátek splývá s levým dolním rohem levé dolní dlaždičky, horizontální osa je rozdělena na 3 . 5 = 15 a vertikální na 4 . 7 = 28 dílků. Definujme grupoid   symetrie dlaždiček následovně. Označme množinu všech dlaždiček symbolem   a definujme  . Pokud  , definujme   kde   je grupa ortogonálních transformací v rovině,   reprezentuje translace vektory z   a   je tzv. polopřímý neboli semidirektní součin. Tj. morfizmus, mezi dvěma dlaždičkami je libovolný tuhý pohyb (složení translace s (event. nepřímou) rotací. Skládání morfizmů je definováno jako skládání zobrazení, pokud tyto skládat lze, tj. obor hodnot jednoho je definičním oborem druhého.

I když zobrazení z   působí na   tranzitivně, jednotlivé prvky z Ob(K) mají obecně různé stabilizátory, tj. „objekty“   nejsou obecně izomorfní pro různá  . (Poznamenejme, že není složité ověřit, že   jsou grupy, a tedy lze hovořit o izomorfnosti.) Tak např. stabilizátory dlaždiček „uvnitř“ stěny jsou různé od stabilizátorů těch v „rozích“ a různé od stabilizátorů těch na „hranách mimo rohy“. Je to tak proto, že vzniklý grupoid není grupa. Kdyby byl, byly by stabilizátory izomorfní.

Pokud uvažujeme složitější prostory, pocházející např. z teoretické fyziky nebo geometrie, než je prostor dlaždiček, můžeme právě porovnáváním různých stabilizátorů co do izomorfnosti matematicky zachytit fakt, že objekty, jako např. dlaždička v levém dolním a např. pravém dolním rohu jsou z hlediska symetrie stejné. Pojem grupy v tomto případě nepomůže přesně, neboť např. ne všechny translace lze skládat a přitom nevyjít z obloženého prostoru.

Elektronový obal atomuEditovat

Stručně řekněme, že tento grupoid je tvořen všemi přípustnými přechody elektronů v obalu atomu mezi jednotlivými „energetickými hladinami“. Jedná se zřejmě o grupoid, neboť přechody mezi hladinami jsou reverzibilní a navíc jejich skládání je asociativní. Tento grupoid souvisí s řešeními Schroedingerovy rovnice pro vlastní stavy hamiltoniánu atomu a příslušným poruchovým počtem.

TopologieEditovat

Nechť   je topologický prostor, obecně ne nutně obloukově souvislý. Objekty grupoidu definujme jako body prostoru  . Morfizmy mezi dvěma objekty   definujme jako třídy ekvivalence spojitých oblouků spojujících bod   s bodem  , přičemž řekneme, že dva oblouky jsou ekvivalentní, pokud jsou homotopické. Vzniklý objekt je grupoid, jak se snadno ověří, a navíc není grupou, pokud prostor   není obloukově souvislý (oblouky ležící v různých komponentách obloukové souvislosti nelze skládat). Vzniklému grupoidu se říká homotopický grupoid. Pokud   je obloukově souvislý, je homotopický grupoid izomorfní homotopické grupě.

Fíbrované bandlyEditovat

Atlasy fíbrovaných bandlů, tj. množina dvojic otevřených okolí báze a na nich definovaných trivializujících map, tvoří také grupoid.

PoznámkaEditovat

Pojem grupoid je často používán v současné algebraické geometrii, jejímž základním v současnosti „nejobecnějším“ objektem výzkumu (model „prostoru“ zkoumaný touto teorií) je tzv. zásobník (anglicky stack, francouzsky champs), což je kategorie fíbrovaná v kategorii grupoidů splňující jistou (technickou, ale podstatnou) podmínku lokality (tzv. podmínka efektivnosti sestupujících dat).

Grupoid je používán také v homotopické teorii, teorii konexí a v symplektické geometrii nebo v teorii deformačního kvantování.

LiteraturaEditovat

  • A. Weinstein, Grupoids: unifying internal and external symmetry, arXiv:math/9602220.
  • Waldschmidt, Moussa, Luck, Itzykson, From Number theory to Physics, Springer-Verlag, 1992.