Otevřít hlavní menu

MotivaceEditovat

Homotopie umožňuje postihnout některé topologické vlastnosti topologických prostorů a zachycuje v rámci matematiky představu spojité deformace prostorů a zobrazení.

DefiniceEditovat

Nechť     jsou topologické prostory a   spojitá zobrazení mezi nimi. Homotopie mezi   a   je spojité zobrazení   takové, že a   a   pro každé  , kde uvažujeme   s topologií danou inkluzí   do   s metrickou topologií a na   uvažujeme součinovou topologii.

Pokud existuje homotopie mezi   a   řekneme, že   a   jsou homotopická a píšeme  

Topologické prostory   nazveme homotopické, pokud existují spojitá zobrazení   a  , že   je homotopické   a   je homotopické  .

Topologicky prostor   nazveme kontraktibilní (stažitelný), pokud je homotopický jednoprvkovému topologickému prostoru (bodu).

PříkladyEditovat

1. Snadno se ověří, že každé dvě uzavřené křivky   v   jsou homotopické. Homotopií je např.   dané formuli  

2. Těžší je ověřit, že kružnice   a kružnice   v prostoru   nejsou homotopické. Neformálně lze říci, že první kružnici nelze zdeformovat na druhou, aniž bychom s první přešli počátek, jenž do uvažovaného topologického prostou nepatří.

3. Topologický prostor  ,   je kontraktibilní.

4. Ani malá, ani velká kružnice na toru nejsou kontraktibilní.

TvrzeníEditovat

Relace být homotopická resp. být homotopické jsou relacemi ekvivalence na množině všech spojitých zobrazení mezi dvěma topologickými prostory, resp. na množině všech topologických prostorů.

PoznámkaEditovat

Pojem homotopické grupy vznikl z potřeb analýzy funkcí komplexní proměnné, zejména teorie integrálů na Riemannových plochách a díky snaze klasifikovat jisté třídy topologických prostorů, především tzv. hladkých variet. Pojem homotopie má rozsáhlá zobecnění v (homologické) algebře, teorii deformací, matematické fyzice a částech strunové teorie, obzvláště v teorii tzv. homologické zrcadlité symetrie.

Hladké verze homotopie v kategorii hladkých variet se někdy nazývají izotopie.

Související článkyEditovat

ReferenceEditovat