Frobeniova metoda

Frobeniova metoda je v matematice metoda, kterou vyvinul Ferdinand Georg Frobenius pro nalezení řešení obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu tvaru

kde

  a  

ve formě nekonečné řady v blízkosti regulárního singulárního bodu . Vydělením rovnice výrazem získáme diferenciální rovnici tvaru

která nebude řešitelná regulárními metodami mocninných řad, jestliže p(z)/z nebo q(z)/z2 nejsou analytické funkcez = 0. Frobeniova metoda nám umožňuje sestrojit mocninnou řadu, která tyto diferenciální rovnice řeší za předpokladu, že funkce p(z) a q(z) jsou samy analytické v bodě 0 anebo, když jsou analytické jinde, pokud obě jejich limity v 0 existují (a jsou konečné).

VysvětleníEditovat

Frobeniova metoda nám říká, že můžeme hledat řešení jako mocninnou řadu tvaru

 

po zderivování:

 
 

a provedení substituce:

 

Výraz

 

se nazývá charakteristická rovnice a je kvadratickou rovnicí s proměnnou r. Obecná definice charakteristické rovnice je koeficient nejnižší mocniny z v nekonečné řadě. V tomto případě je to r-tý koeficient, ale je možné, že nejnižší exponent bude r − 2, r − 1 nebo jiný else podle konkrétní diferenciální rovnice. Na tento detail je třeba pamatovat, protože jinak může proces synchronizace celé řady diferenciální rovnice skončit složitými výrazy, aby začínala na stejné hodnotě indexu, která je ve výše uvedeném výrazu k = 1. Ale pozornost při řešení pro kořeny charakteristické rovnice je zaměřena pouze na koeficient nejnižší mocniny z.

Koeficient zk + r lze obecně vyjádřit

 ,

Tyto koeficienty musí být nula, protože musí být řešením diferenciální rovnice, takže

 
 
 

Řada, která je řešením diferenciální rovnice, má koeficienty Ak vyjádřenými výše

 

vyhovuje rovnosti

 

Jestliže vybereme jeden z kořenů charakteristická rovnice pro r v Ur(z), získáme řešení diferenciální rovnice. Jestliže rozdíl mezi kořeny není celé číslo, dostaneme další lineárně nezávislé řešení pro jiný kořen.

PříkladEditovat

Jestliže řešíme rovnici

 

vydělíme ji výrazem z2 a dostaneme

 

která má nezbytně singularity pro z = 0.

Použijeme řadu pro řešení

 

a provedeme substituci

 

Charakteristická rovnice (r − 1)2 = 0 má dvojitý kořen 1. Při použití tohoto kořene, položíme koeficient zk + r − 2 rovný nule (aby to bylo řešení), což dává:

 

odtud dostáváme rekurentní vztah:

 

Podle počátečních podmínek můžeme buď vyřešit úplně vyřešit rekurenci nebo získat řešení ve formě mocninné řady.

Protože poměr koeficientů   je racionální funkce, mocninná řada může být zapsána jako zobecněná hypergeometrická řada.

Dvojité kořenyEditovat

V předchozím příkladě měla charakteristická rovnice vícenásobné kořeny, což dávalo pouze jedno řešení diferenciální rovnice. Frobeniova metoda obecně dává dvě nezávislá řešení za předpokladu, že kořeny charakteristické rovnice jsou jednoduché.

Jestliže kořen je vícenásobný nebo když se kořeny liší o celé číslo, pak druhé řešení lze nalézt pomocí rovnice:

 

kde   je první řešení a koeficienty   jsou dané.

ReferenceEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Frobenius method na anglické Wikipedii.

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat