Fermatův test prvočíselnosti

Fermatův test prvočíselnosti se používá k určení, zda je dané číslo prvočíslo nebo číslo složené. Patří mezi pravděpodobnostní testy prvočíselnosti a je založený na malé Fermatově větě.

PopisEditovat

Fermatův test nepatří mezi typické pravděpodobnostní testy. Jednoznačně nerozliší prvočísla od čísel složených (to jsou tzv. Carmichaelova čísla), proto je často označován jako test složenosti.[1]

Na základě malé Fermatovy věty, je-li   prvočíslo a   není jeho násobek platí  , nebo lze také říci, že   je dělitelné číslem  . Po použití obrácené implikace tohoto tvrzení je zřejmé, že existuje-li   takové, že   nedělí  , pak musí být   číslo složené.[2]

Příklad: Při zvolení  ;  , číslo   není dělitelem čísla   nebo

 ;  , také   nedělí číslo  . Fermatův test potvrdil složenost čísla pro  .

n je složené čísloEditovat

Pro složené číslo   a přirozené číslo  , platí:

  •   – číslo   se nazývá Fermatův svědek složenosti čísla  
  •   – číslo   se nazývá pseudoprvočíslo vzhledem k bázi  .[2][1]

ZobecněníEditovat

Je-li   prvočíslo     nebo   není prvočíslo

PříkladyEditovat

Související informace naleznete také v článku Kongruence.

Zadání1:   a platí pro  ,   atd.

 

 

 

      je prvočíslo.

Zadání2:  ;  

 

    kongruence není rovna  , proto číslo   není prvočíslo a číslo   je svědek složenosti.[3]

Test pro velká číslaEditovat

Pro „velká“ čísla je časově náročné používat Fermatův test pro všechna čísla  .

Zadání3: Je číslo   prvočíslo? Lze vybrat náhodná čísla  

    může být prvočíslo,

    může být prvočíslo,

    není prvočíslo!

AlgoritmusEditovat

Fermatův test prvočíselnosti:

Vstup: liché celé číslo  , parametr počet čísel  .

Výstup: odpověď na otázku „je   prvočíslo?“

for (i = 1; i <= t; i++)
{
    vyber náhodné int a;
    r = a*(n-1) \mod n; //RSMA 
    if (r !i = 1 ) then
    return ("složené")
    break;
}
return ("prvočíslo")

Pro testování prvočíselnosti velkého čísla se Fermatův test v praxi běžně nepoužívá. Existuje pravděpodobnost, že místo náhodného lichého celého čísla bude vygenerováno pseudoprvočíslo, tedy složené kladné celé číslo, které je chybně určeno jako prvočíslo.[1]

ReferenceEditovat

  1. a b c OCHODKOVÁ, Eliška. Matematické základy kryptografických algoritmů [online]. Západočeská univerzita v Plzni: Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava, 2012 [cit. 2021-10-31]. Dostupné online. 
  2. a b MASÁKOVÁ, Zuzana. Prvočísla v akci. Rozhledy matematicko-fyzikální. 2015, roč. 90, čís. 1, s. 66–77. Dostupné online [cit. 2021-10-31]. ISSN 0035-9343. 
  3. STULÍKOVÁ, Gabriela. TESTOVÁNÍ PRVOČÍSELNOSTI [online]. Plzeň: Západočeská univerzita v Plzni, Fakulta pedagogická, 2017 [cit. 2021-10-31]. Dostupné online. 

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat