Násobek

Násobek je v matematice hodnota čísla, kterou lze získat násobením příslušného základu přirozeným číslem.

Definice

Nechť čísla $a,b\in N$; číslo $a$ je násobkem čísla $b$, jestliže existuje takové přirozené číslo $k$, že platí: $a=b\cdot k$. Neexistuje-li takové číslo $k$, pak číslo $a$ není násobkem čísla $b$.

Definici lze použít i pro $a,b\in Z$, pak platí:

• číslo $0$ je násobkem každého celého čísla,
• je-li číslo $a$ násobkem čísla $b$, je také násobkem čísla $-b$ a také číslo $-a$ je násobkem čísla čísla $b$.

Společný násobek

Nenulové přirozené číslo $D$ se nazývá společným násobkem nenulových celých čísel $a,b$, když platí $a\mid D\land b\mid D$, tj. $D$ je dělitelné oběma čísly. Nejmenší ze všech jejich společných násobků se nazývá nejmenší společný násobek.

Příklad: Jsou-li společní dělitele čísel $a=420,b=36$ jsou $1,2,3,4,6,12$. Čísla ve tvaru $1260\cdot n$, kde $n\in N$, jsou všechny společné násobky čísel $a,b.$

Obecné vyjádření společného násobku dvou přirozených čísel

Číslo $D$ je libovolný společný násobek čísel $a,b\in N$. Použitím Eukleidova algoritmu lze zapsat $D=a\cdot q$, kde $q\in N$. Čísla $a,b$ lze vyjádřit ve tvaru ${\textstyle a=a_{1}\cdot NSD(a,b);b=b_{1}\cdot NSD(a,b);}$ kde $NSD(a_{1},b_{1})=1$, tedy čísla $a_{1},b_{1}$jsou nesoudělná. Číslo ${\frac {D}{NSD(a,b)}}=a_{1}\cdot q$ přirozené a navíc $q$ je dělitelné (beze zbytku) $b_{1}$. Pro $n\in N$ lze napsat ${\frac {a_{1}q}{b_{1}}}=a_{1}n$ a tedy $a_{1}q=a_{1}b_{1}n$. Provedením úprav lze získat vztah $D={\frac {ab}{NSD(a,b)}}\cdot n$

Společný násobek více čísel

Společným násobkem nenulových celých čísel $a_{1},...a_{n}$, kde $n\geq 2$, je nenulové číslo $D\in N$, které je dělitelné každým z čísel $a_{1},...a_{n}$, tj. $\forall i\in \{1,...n\}$ $a_{i}\mid D$.

Příklady

Příklad1: Číslo $10$ lze získat jako součin čísel: $2\cdot 5=10$

O číslech v této rovnosti platí: číslo $10$ je násobek čísla $2$, bylo získáno násobením čísla $2$ a zároveň lze říci, že číslo $10$ je násobek čísla $5$, je výsledkem násobení čísla $5$.

Příklad2: Které věty jsou pravdivé?

• Číslo 54 je násobek 8 – ne, věta není pravdivá, protože $54:8=6;(zbytek=6)$
• Číslo 36 je násobek 12 – ano, pravdivé tvrzení, protože $36$ je trojnásobek čísla $12$

Příklad3: Určení násobku

• jedenáctinásobek čísla $6$: $11\cdot 6=66$
• čtyřnásobek čísla $z$: $4\cdot z=4z$

Související články

• Nejmenší společný násobek
• Dělitelnost
• Násobení
• Eukleidův algoritmus

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu násobek na Wikimedia Commons

• Slovníkové heslo násobek ve Wikislovníku