Eulerova rovnost

Eulerova rovnost (také Eulerova identita) je základní vzorec komplexní analýzy. Svým jednoduchým a elegantním vyjádřením ($e^{i\pi }+1=0$) a fundamentálním významem připomíná Einsteinovu rovnici (E=mc²).

Znění

Eulerova rovnost je vzorec $e^{i\pi }+1=0$, kde

• e je Eulerovo číslo
• i je imaginární jednotka
• π je Ludolfovo číslo

Elegantnost vyjádření

Eulerova rovnost dává do souvislosti tři základní aritmetické operace (součet, součin a mocnina) s pěti základními analytickými konstantami (e, i, π, 0, 1). Přitom se v této rovnosti vyskytuje každá z operací i každá z konstant právě jednou a žádné jiné operace ani konstanty se v ní nevyskytují.

Odvození

Eulerův vzorec pro libovolný úhel.

Eulerova rovnost je speciálním případem Eulerova vzorce, který říká

$e^{ix}=\cos x+i\sin x\,\!$

pro každé reálné číslo x. Speciálně pro

$x=\pi ,\,\!$

dostaneme

$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .\,\!$

Protože

$\cos \pi =-1\,\!$

a

$\sin \pi =0,\,\!$

vyplývá odtud

$e^{i\pi }=-1\,\!$

a převedením na druhou stranu

$e^{i\pi }+1=0.\,\!$

Zobecnění

Eulerova rovnost je speciálním případem obecnější identity, která říká, že součet všech n-tých odmocnin z jedné je nulový pro n > 1:

$\sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi ik/n}=0.$

Eulerova rovnost vznikne dosazením n = 2.

Odkazy

Související články

• Komplexní analýza
• Eulerův vzorec
• Seznam pojmů pojmenovaných po Leonhardu Eulerovi

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Eulerova rovnost na Wikimedia Commons

Portály: Matematika