Catalanova čísla

Catalanova čísla jsou taková přirozená čísla $C_{n}$, která jsou určena následujícím předpisem:

$C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}\qquad \forall n\geq 0$

Zvláštního pojmenování si zasluhují především jejich souvislostí s překvapujícím množstvím kombinatorických úloh. Objevují se jako řešení problému počtu možných triangulací konvexního mnohoúhelníka, nebo třeba otázky počtu binárních stromů s n listy.

Tato čísla byla objevena Leonardem Eulerem při zkoumání již zmíněného triangulačního problému, své jméno dostala po Eugènovi Charlesovi Catalanovi, který si je objevil pro zjištění počtu korektně uzávorkovaných zápisů posloupností znaků „(“ a „)“.

Pro n = 0, 1, 2,… jsou první hodnoty $C_{n}$ = 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429…

Rekurentní a uzavřený tvar

Základní rekurentní rovnicí pro výpočet n-tého Catalanova čísla je

$C_{0}=1$

$C_{n+1}=\sum _{i=0}^{n}C_{i}\,C_{n-i}\quad {\mbox{pro }}n>0$

Tato rekurence přímo vyvstává z většiny dále uváděných kombinatorických úloh. Například v případě počítání počtu binárních stromů vyjadřuje skutečnost, že binární strom na n vrcholech můžeme postavit buď tak, že do levého podstromu umístíme n vrcholů a do pravého žádný, nebo že do levého podstromu umístíme n-1 vrcholů a do pravého jeden, atd. Výše uvedená suma sčítá počet možností přes všechny takovéto alternativy.

Pro praktické počítání je možná výhodnější tento otevřený tvar:

$C_{0}=1$

$C_{n+1}={\frac {2(2n+1)}{n+2}}C_{n}\quad {\mbox{pro }}n>0$

V úvodu uvedený uzavřený předpis $C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}$ není zcela triviální odvodit (viz dále). Jako alternativu je vhodné uvést vzorec

$C_{n}={2n \choose n}-{2n \choose n-1}$

Je z něj dobře vidět, že všechna Catalanova čísla jsou celá, což z prvně uvedeného není zřejmé. Odvození tohoto druhého vzorce z prvního je jednoduché:

${\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n+1)n!n!}}={\frac {(n+1)(2n)!-n(2n)!}{(n+1)n!n!}}={\frac {(2n)!}{n!n!}}-{\frac {(2n)!}{(n-1)!(n+1)!}}={2n \choose n}-{2n \choose n-1}$

Kombinatorické úlohy vedoucí na Catalanova čísla

• Počet zakořeněných binárních stromů s n listy je $C_{n-1}$.

Příklad Catalanových čísel v binárním stromě

• Počet korektních uzávorkování 2n závorek je $C_{n}$.

((()))     ()(())     ()()()     (())()     (()())

• Počet triangulací konvexního n-úhelníka je $C_{n-2}$. Toto je ukázka pro n=6 ($C_{4}=14$).

Příklad Catalanových čísel v n-úhelníku

• Počet způsobů, jak se v mřížce n×n dostat z levého dolního do pravého horního rohu, aniž bychom překročili diagonálu nebo se vraceli, je $C_{n}$.

Catalanova čísla v mřížce 4×4

Odkazy

Související články

• Kombinatorika
• Eugène Charles Catalan

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Catalanova čísla na Wikimedia Commons
• Heslo „Catalan numbers“ na MathWorldu
• Catalanova čísla jako číselná sekvence
• Dickau, Robert M.: Další příklady Catalanových čísel
• Davis, Tom: Ještě další příklady Catalanových čísel

Autoritní data	NKC: ph1202458 GND: 1072323532 LCCN: sh2008005833 NLI: 987007561759805171