Catalanova čísla

Catalanova čísla jsou taková přirozená čísla , která jsou určena následujícím předpisem:

Zvláštního pojmenování si zasluhují především jejich souvislostí s překvapujícím množstvím kombinatorických úloh. Objevují se jako řešení problému počtu možných triangulací konvexního mnohoúhelníka, nebo třeba otázky počtu binárních stromů s n listy.

Tato čísla byla objevena Leonardem Eulerem při zkoumání již zmíněného triangulačního problému, své jméno dostala po Eugènovi Charlesovi Catalanovi, který si je objevil pro zjištění počtu korektně uzávorkovaných zápisů posloupností znaků „(“ a „)“.

Pro n = 0, 1, 2,… jsou první hodnoty = 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429…

Rekurentní a uzavřený tvarEditovat

Základní rekurentní rovnicí pro výpočet n-tého Catalanova čísla je

 
 

Tato rekurence přímo vyvstává z většiny dále uváděných kombinatorických úloh. Například v případě počítání počtu binárních stromů vyjadřuje skutečnost, že binární strom na n vrcholech můžeme postavit buď tak, že do levého podstromu umístíme n vrcholů a do pravého žádný, nebo že do levého podstromu umístíme n-1 vrcholů a do pravého jeden, atd. Výše uvedená suma sčítá počet možností přes všechny takovéto alternativy.

Pro praktické počítání je možná výhodnější tento otevřený tvar:

 
 

V úvodu uvedený uzavřený předpis   není zcela triviální odvodit (viz dále). Jako alternativu je vhodné uvést vzorec

 

Je z něj dobře vidět, že všechna Catalanova čísla jsou celá, což z prvně uvedeného není zřejmé. Odvození tohoto druhého vzorce z prvního je jednoduché:

 

Kombinatorické úlohy vedoucí na Catalanova číslaEditovat

  • Počet korektních uzávorkování 2n závorek je  .
((()))     ()(())     ()()()     (())()     (()())
  • Počet triangulací konvexního n-úhelníka je  . Toto je ukázka pro n=6 ( ).
  • Počet způsobů, jak se v mřížce n×n dostat z levého dolního do pravého horního rohu, aniž bychom překročili diagonálu nebo se vraceli, je  .

OdkazyEditovat

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat