Buckinghamův π teorém

Buckinghamův teorém je v inženýrství, aplikované matematice a fyzice důležitým nástrojem pro rozměrovou analýzu. Zjednodušeně řečeno teorém tvrdí, že počet proměnných ve fyzikálně smysluplné rovnici je možno redukovat v závislosti na tom, kolik fyzikálních veličin v této rovnici vystupuje pomocí kolika fyzikálních jednotek jsou tyto veličiny vyjádřeny. Po redukci je rovnice vyjádřena pomocí berozměrných veličin označovaných , , atd., což dalo tomuto tvrzení název.

Edgar Buckingham kolem roku 1886

Věta poskytuje metodu pro výpočet množin bezrozměrných parametrů z daných proměnných neboli nondimenzionizaci, i když tvar rovnice je stále neznámý.

Buckinghamův teorém naznačuje, že platnost fyzikálních zákonů nezávisí na konkrétní jednotkové soustavě. Tvrzení této věty je možno intrrpretovat tak, že jakýkoli fyzikální zákon lze vyjádřit jako identitu zahrnující pouze bezrozměrné kombinace (poměry nebo součiny) proměnných propojených zákonem (například tlak a objem jsou spojeny Boyleovým-Mariottovým zákonem – jsou nepřímo úměrné).

TvrzeníEditovat

Pokud máme rovnici vyjadřující fyzikální zákon ve tvaru

 
kde   je   nezávislých fyzikálních veličin, které jsou vyjádřeny v   nezávislých fyzikálních jednotkách, pak lze výše uvedenou rovnici přepsat do tvaru
 
kde   jsou pro   bezrozměrné parametry konstruované z veličin   vztahem
 
kde exponenty   jsou racionální čísla.

VýznamEditovat

Buckinghamův   teorém poskytuje metodu pro výpočet souborů bezrozměrných parametrů z daných proměnných, i když tvar rovnice není znám. Volba bezrozměrných parametrů není jednoznačná. Buckinghamův teorém poskytuje pouze metodu hledání bezrozměrných parametrů a nedokáže odlišit "fyzikálně smysluplné" sady bezrozměrných parametrů od ostatních.

Buckingramův   teorém je silný nástroj zejména v případě, že hodnoty   a   jsou srovnatelné.[1]

Matematické kyvadloEditovat

Chceme určit periodu   malých kmitů matematického kyvadla o délce   hmotnosti   hmotného bodu na konci kyvadla a gravitačního zrychlení  . První tři veličiny mají nezávislé jednotky, gravitační zrychlení má jednotku složenou z jednotky délky a jednotky času. Souvislost veličin je tvaru

 
Protože se počet jednotek a veličin liší o jedničku, je možné tuto zákonitost zapsat použitím jediného bezrozměrného parametru   ve tvaru
 
kde   dáno vztahem
 
pro vhodné hodnoty   Jednotka hmotnosti se vzorci vyskytuje jenom jednou ve veličině   a proto musí být  . Jednotka délky je v první mocnině ve veličinách   a   a aby veličina   nezávisla na jednotce délky, musí se jednotka délky vykrátit, tj.  . Jednotka času je v první mocnině v periodě   a v minus druhé mocnině ve zrychlení  . Aby veličina   nezávisla na jednotce času, musí se jednotka času vykrátit, tj.  . Z toho vyplývá, že bezrozměrnou konstantu lze po volbě   zapsat ve tvaru
 
(V méně triviálním případě je nutno řešit maticově soustavu lineárních rovnic.) Model lze nyní vyjádřit rovnicí
 
Za předpokladu že   má izolované kořeny   to znamená, že   pro nějaký kořen   funkce   Pokud je pouze jeden nulový bod,   platí   a  . Hodnotu konstanty   nelze rozměrovou analýzou určit, stačí však jedno měření pěriody, které správnou hodnotu konstanty učí. V tomto případě je  , což dává známý vzorec  .

OdkazyEditovat

ReferenceEditovat

  1. KUNDU, Pijush K.; COHEN, Ira M.; DOWLING, David R. Fluid Mechanics. 6. vyd. [s.l.]: Academic Press, 2016. ISBN 978-0-12-405935-1. S. 27. 

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Buckingham_π_theorem na anglické Wikipedii.