Binetův vzorec (mechanika)

Binetův vzorec je lineární diferenciální rovnice druhého řádu, vyjadřující pohyb tělesa v centrálním poli. Mějme těleso hmotnosti $m$, jehož polární souřadnice jsou $r$ a $\varphi$. Binetův vzorec je rovnice pro inverzní vzdálenost $u={1 \over r}$, a má tvar

${{{\mbox{d}}^{2}u \over {\mbox{d}}\varphi ^{2}}+u=-{m \over L^{2}}{{\mbox{d}}V \over {\mbox{d}}u}}$

kde $V$ je potenciál tělesa v centrálním poli, $L$ je jeho moment hybnosti.

Nalezneme-li funkci $u(\varphi )$ řešící Binetův vzorec pro daný potenciál $V$, trajektorii tělesa dostaneme opět inverzí, tedy $r(\varphi )={1 \over u(\varphi )}$

Gravitační pole

Důležitým případem je pohyb tělesa v gravitačním poli, tedy v potenciálu

$V(r)=-{\alpha \over r}$

kde $\alpha ={GMm}$ je konstanta. Binetův vzorec má zde tedy tvar

${{\mbox{d}}^{2}u \over {\mbox{d}}\varphi ^{2}}+u={\alpha m \over L^{2}}$

To je nehomogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, jehož obecným řešením

$u(\varphi )={\alpha m \over L^{2}}(1+\varepsilon \cos(\varphi +\varphi _{0}))$

kde $\varepsilon ,\varphi _{0}$ jsou integrační konstanty. Konstanta $\varphi _{0}$ má význam počáteční fáze, můžeme ji tedy bez újmy na obecnosti položit rovnou nule.

Inverzí vztahu dostaneme tvar trajektorie

$r(\varphi )={p \over 1+\varepsilon \cos \varphi }$

kde $p={L^{2} \over \alpha m}$. To je rovnice kuželosečky v polárních souřadnicích. Konstanta $\varepsilon$ je numerická excentricita a souvisí s celkovou energií tělesa v centrálním poli vztahem

$\varepsilon ^{2}-1={2L^{2}E \over \alpha ^{2}m}$

Těleso (např. planeta nebo kometa) se tedy v centrálním gravitačním poli pohybuje po

• elipse, je-li $\varepsilon <1$
• hyperbole, je-li $\varepsilon >1$
• parabole, je-li $\varepsilon =1$

První případ platí pro pohyb planet a vyjadřuje tak první Keplerův zákon.