Otevřít hlavní menu

Binetův vzorec je lineární diferenciální rovnice druhého řádu, vyjadřující pohyb tělesa v centrálním poli. Mějmě těleso hmotnosti , jehož polární souřadnice jsou a . Binetův vzorec je rovnice pro inverzní vzdálenost , a má tvar

kde je potenciál tělesa v centrálním poli, je jeho moment hybnosti.

Nalezneme-li funkci řešící Binetův vzorec pro daný potenciál , trajektorii tělesa dostaneme opět inverzí, tedy

Gravitační poleEditovat

Důležitým případem je pohyb tělesa v gravitačním poli, tedy v potenciálu

 

kde   je konstanta. Binetův vzorec má zde tedy tvar

 

To je nehomogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, jehož obecným řešením

 

kde   jsou integrační konstanty. Konstanta   má význam počáteční fáze, můžeme ji tedy bez újmy na obecnosti položit rovnou nule.

Inverzí vztahu dostaneme tvar trajektorie

 

kde  . To je rovnice kuželosečky v polárních souřadnicích. Konstanta   je numerická excentricita a souvisí s celkovou energií tělesa v centrálním poli vztahem

 

Těleso (např. planeta nebo kometa) se tedy v centrálním gravitačním poli pohybuje po

  • elipse, je-li  
  • hyperbole, je-li  
  • parabole, je-li  

První případ platí pro pohyb planet a vyjadřuje tak první Keplerův zákon.