atan2

atan2 (někde arctg2) je funkce dostupná v mnoha programovacích jazycích, numerických knihovnách a nástrojích pro výpočty, kterou lze použít místo funkce arkus tangens a která významně usnadňuje převod z pravoúhlých souřadnic na polární a podobné úlohy. Funkce je definovaná pro všechny reálné hodnoty dvou parametrů, a v případech, kdy je výraz na pravé straně definován, platí

Funkce atan2(y, x) vrací úhel θ svíraný polohovým vektorem (průvodičem) bodu (x, y) a kladnou poloosou osy x upravený do intervalu (-π, π⟩

Určení kvadrantu pro funkci atan2(y, x) argumentu y/x

$atan2(y,x)=\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}$

Účel

Funkce atan2 řeší dva problémy, ke kterým by došlo při použití výrazu $\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}$:

• Pokud je x nulové nebo velmi malé, při výpočtu y/x může dojít k chybě dělení nulou nebo přetečení; hodnota funkce atan2 je však $+{\frac {\pi }{2}}$ nebo $-{\frac {\pi }{2}}$.
• Při převodu na polární souřadnice potřebujeme úhel v rozsahu celého kruhu, tj. $2\pi$ nebo 360°, zatímco funkce arctg vrací hodnoty v intervalu $\left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)$, neboli (-90°, 90°) – informace o znaménkách obou souřadnic se při použití jednoho parametru ztratí; proto je nutné po použití funkce arctg určovat správnou polorovinu případně kvadrant.

Definice

$\operatorname {atan2} (y,x)$ je funkce $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \rightarrow \langle 0;2\pi )$ definovaná přepisem:

$\operatorname {atan2} (y,x)=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arctg} \left({\frac {y}{x}}\right),\ \ \ \ \ \ &{\mbox{je-li }}(x>0)\land (y>=0),\\\operatorname {arctg} \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi ,\ &{\mbox{je-li }}(x<0),\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\operatorname {arctg} \left({\frac {y}{x}}\right)+2\pi ,&{\mbox{je-li }}(x>0)\land (y<0),\\{\frac {\pi }{2}},&{\mbox{je-li }}(x=0)\land (y>0),\\{\frac {3}{2}}\pi ,&{\mbox{je-li }}(x=0)\land (y<0),\\\end{matrix}}\right.$

kde arctg(x) je arkus tangens.

Striktně matematicky není hodnota $\operatorname {atan2} (0,0)$ definována (nulový vektor nemá definovanou orientaci); pro programování může být libovolná; obvykle se používá 0.

Jiná definice pomocí distribucí, konkrétně Heavisideovy skokové funkce $\theta (x)$:

$\operatorname {atan2} (y,x)=\operatorname {arctg} \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi \theta (-x)+2\pi \theta (x)\theta (-y).$

V programovacích jazycích je funkce atan2 definována tak, že vrací hodnoty v intervalu $(-\pi ;\pi \rangle$.

Užití

Pomocí takto definované funkce můžeme snadno zapsat např. přechod od kartézských souřadnic k polárním; bod o kartézských souřadnicích $(x,y)$ lze vyjádřit pomocí polárních souřadnic $(r,\theta )$ takto:

$x=r\cos {\varphi }\,$

$y=r\sin {\varphi }\,$

odtud

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

$\varphi =\operatorname {atan2} \left(y,x\right).$

Funkci atan2(y,x) lze použít také pro přechod mezi kartézskou soustavou souřadnic a sférickou soustavou souřadnic, resp. válcovou soustavou souřadnic.

Obdobně, atan2(y,x) nám dává argument komplexního čísla x + iy.

Praktická poznámka

V programovacích jazycích (C, PHP, Java, JavaScript, ...) se vždy píše jako první parametr souřadnice y a jako druhý souřadnice x tj. tvar atan2(y, x).

Ale v tabulkových kalkulátorech (Microsoft Excel, LibreOffice Calc, apod.) bývá použit obrácený tvar tj. atan2(x, y)!

Odkazy

Související články

• Arkus tangens
• Ortogonální souřadnice
• Kartézská soustava souřadnic
• Polární soustava souřadnic
• Sférická soustava souřadnic
• Cyklometrická funkce

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu atan2 na Wikimedia Commons

Portály: Matematika