Definiční obor

Definiční obor zobrazení $T:X\to Y$ z množiny $X$ do množiny $Y$ tvoří právě ty prvky množiny $X$ , pro něž je definován obraz v množině $Y$ . Obecně nemusí být zobrazení $T$ definováno na celé množině $X$ , v tom případě tvoří jeho definiční obor podmnožinu množiny $X$ . Definiční obor funkce $f$ je množina všech hodnot, pro které je funkce $f$ definována.

Definice

V matematické notaci lze definiční obor pro zobrazení $T:X\to Y$ zapsat následovně:

D_{T}=\{x\in X|(\exists y\in Y)(T(x)=y)\}

.

Definiční obor zobrazení $T$ resp. funkce $f$ se značí $D_{T}=D(T)$ resp. $D_{f}=D(f)$ . Pro definiční obor se v zahraniční literatuře používá označení doména, pro obor hodnot pak označení kodoména.

Omezení definičního oboru

Každou funkci (resp. obecněji zobrazení) je možno omezit na libovolnou podmnožinu jejího definičního oboru. Tedy máme-li funkci $f:X\to Y$ a platí-li $A\subseteq X$ , můžeme omezit funkci $f$ na množinu $A$ , což značíme:

f|_{A}:A\rightarrow Y

.

Takto upravená funkce pak působí na prvky z množiny $A$ stejným způsobem jako předtím na všechny prvky z množiny $X$ . Jediným rozdílem je, že už má smysl hovořit o jejích hodnotách jen na prvcích z množiny $A$ . Pro funkci $f$ se $f_{A}$ nazývá zúžení (restrikce) $f$ na množinu $A$ .

Příklad

Definiční obor mohou kromě čísel tvořit také např. funkce. Uvažujme množinu ${\mathcal {C}}$ reálných funkcí reálné proměnné, tj. funkcí $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ a operátor derivace ${\text{Der}}:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}$ , který vezme funkci a vrátí její derivaci, tj. opět nějakou funkci, pak definiční obor operátoru derivace ${\text{Der}}$ tvoří ty funkce z ${\mathcal {C}}$ , pro něž existuje jejich derivace. Tento příklad ukazuje zobrazení, které není definováno na celé „vstupní“ množině, protože ne všechny funkce mají derivaci.
Uvažujme topologický prostor $X$ a na něm definované zobrazení $T$ zobrazující do množiny $Y$ . O zobrazení $T$ řekneme, že je hustě definované, právě když je jeho definiční obor hustou podmnožinou topologického prostoru $X$ , tj. ${\overline {(D_{T})}}=X$ , kde pruh nad množinou značí uzávěr této množiny.