Vícerozměrná interpolace

Vícerozměrná interpolace, numerická analýza nebo prostorová interpolace je interpolace funkce o více než jedné proměnné.

Tato funkce musí být interpolována na předem známých bodech $(x_{i},y_{i},z_{i},\dots )$ a proto problémy při interpolaci nastávají při přiřazování hodnot na libovolné body $(x,y,z,\dots )$.

Pravidelná mřížka

Pro funkční hodnoty známé na pravidelné mřížce (předem nemusí být nutně jednotná) jsou tyto metody k dispozici.

Jakýkoliv rozměr

• interpolace nejbližší soused

Dvourozměrné

• Barnes interpolace
• Bilineární interpolace
• Bikubická interpolace
• Bézierova plocha
• Lanczos převzorkování
• Delaunay triangulace
• Metoda vážené inverzní vzdálenosti
• Kriging
• Přírodní soused
• ABOS
• Interpolace křivek

Bitmap převzorkování je aplikace 2D vícerozměrné interpolace ve Zpracování obrazu

Tři z metod aplikované na stejném datasetu, 16 hodnot umístěných v černých tečkách. Barvy reprezentují interpolované hodnoty.

• 
  Nejbližší soused
• 
  Bilineární
• 
  Bikubická

Trojrozměrné

• Trilineární interpolace
• Trikubická interpolace

Tensor product splines pro N rozměrů

Catmull-Rom křivky mohou být lehce generalizovány na jakékoliv číslo rozměru. Článek Hermitova kubika Vám připomene, že $\mathrm {CINT} _{x}(f_{-1},f_{0},f_{1},f_{2})=\mathbf {b} (x)\cdot \left(f_{-1}f_{0}f_{1}f_{2}\right)$ pro nějaký 4-vektor $\mathbf {b} (x)$ který je funkcí samostatného x kde $f_{j}$ je hodnota na $j$ funkce, která má být interpolována. Přepis této aproximace jako

$\mathrm {CR} (x)=\sum _{i=-1}^{2}f_{i}b_{i}(x)$

Tento vzorec může být přímo generalizován na N rozměrů

$\mathrm {CR} (x_{1},\dots ,x_{N})=\sum _{i_{1},\dots ,i_{N}=-1}^{2}f_{i_{1}\dots i_{N}}\prod _{j=1}^{N}b_{i_{j}}(x_{j})$

Všimněte si, že podobné generalizace mohou být i u jiných typů interpolací, včetně Hermitovy křivky. V souvislosti s účinností obecného vzorce může být ve skutečnosti vypočítána jako složení po sobě jdoucích $\mathrm {CINT}$- typů operací pro některé typy tensor product splines, jak je uvedeno v článku tricubic interpolation. Nicméně faktem je, že pokud existuje $n$ podmínek v 1rozměrné $\mathrm {CR}$ jako sumační, pak tam bude $n^{N}$ pojmů v $N$rozměrném složení.

Nepravidelná mřížka (roztroušená data)

Schémata definována pro roztroušená data na nepravidelné mřížce by všechna měla pracovat na pravidelné mřížce, většinou redukující na jinou známou metodu.

• Interpolace nejbližší soused
• Trojúhelníková nepravidelná síť-založeno na Přirodní soused co??
• Trojúhelníková nepravidelná síť-založeno na Lineární interpolace
• Metoda vážené inverzní vzdálenosti
• Kriging
• Radiální bázové funkce
• Thin plate spline

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Multivariate interpolation na anglické Wikipedii.