Wikipedie

Stoneova věta o reprezentaci

Stoneova věta o reprezentaci Booleových algeber říká, že každá Booleova algebra je izomorfní s určitým polem množin. Věta je základem k hlubšímu chápání Booleových algeber, které se objevilo v první polovině 20. století. Větu dokázal Marshall H. Stone,[1] kterého k ní přivedlo studium spektrální teorie operátorů na Hilbertově prostoru.

Stoneovy prostory editovat

Ke každé Booleově algebře B existuje topologický prostor, zde označovaný S(B), její Stoneův prostor. Prvky S(B) jsou ultrafiltry v B nebo ekvivalentně homomorfismy z B do dvouprvkové Booleovy algebry. Na S(B) existuje topologie generovaná (uzavřenou) bází sestávající ze všech množin tvaru

 

kde b je prvek B. To je topologie bodové konvergence sítě homomorfismů do dvouprvkové Booleovy algebry.

Pro každou Booleovu algebru B je S(B) kompaktní totálně nesouvislý Hausdorffův prostor; takové prostory se nazývají Stoneovy prostory (nebo profinitní prostory). Naopak v jakémkoli topologickém prostoru X tvoří kolekce jeho obojetných podmnožin (tj. současně uzavřených i otevřených podmnožin) Booleovu algebru.

Věta o reprezentaci editovat

Jednoduchá verze Stoneovy věty o reprezentaci říká, že každá Booleova algebra B je izomorfní s algebrou obojetných podmnožin příslušného Stoneova prostor S(B). Izomorfismus zobrazuje prvek b∈B do množiny všech ultrafiltrů, které b obsahují. To je obojetná množina kvůli volbě topologie na S(B) a protože B je Booleova algebra.

Po přeformulování do jazyka teorie kategorií věta říká, že existuje dualita mezi kategorií Booleových algeber a kategorií Stoneových prostorů. Tato dualita znamená, že kromě korespondence mezi Booleovými algebrami a jejich Stoneovými prostory, každý homomorfismus z Booleovy algebry A na Booleovu algebru B přirozeným způsobem odpovídá spojité funkci z S(B) do S(A), neboli že existuje funktor, který je ekvivalencí mezi kategoriemi. Jde o jeden z prvních příkladů netriviální duality kategorií.

Věta je speciálním případem Stoneovy duality, obecnějšího rámce duality mezi topologickými prostory a uspořádanými množinami.

Důkaz vyžaduje buď axiom výběru nebo jeho zeslabený tvar. Konkrétně je věta ekvivalentní s větou o Booleovském prvoideálu považovanou za zeslabený axiom výběru říkající, že každá Booleova algebra má prvoideál.

Rozšíření klasické Stoneovy duality na kategorii Booleovských prostorů (což jsou nularozměrné lokálně kompaktní Hausdorffovy prostory) a spojitá zobrazení dokázal G. D. Dimov; pro perfektní zobrazení H. P. Doctor.[2][3]

Odkazy editovat

Reference editovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Stone's representation theorem for Boolean algebras na anglické Wikipedii.

  1. ↑ STONE, Marshall H. The Theory of Representations of Boolean Algebras. Transactions of the American Mathematical Society. 1936, roč. 40, s. 37–111. Dostupné online. 
  2. ↑ DIMOV, G. D. Some generalizations of the Stone Duality Theorem. Publ. Math. Debrecen. 2012, roč. 80, s. 255–293. 
  3. ↑ DOCTOR, H. P. The categories of Boolean lattices, Boolean rings and Boolean spaces. Canad. Math. Bulletin. 1964, roč. 7, s. 245–252. 

Související články editovat

Literatura editovat

  • HALMOS, Paul; GIVANT, Steven. Logic as Algebra. Dolciani Mathematical Expositions. The Mathematical Association of America, 1998, čís. 21. Dostupné online. 
  • JOHNSTONE, Peter T. Stone Spaces. [s.l.]: Cambridge University Press, 1982. ISBN 0-521-23893-5. 
  • BURRIS, Stanley N.; SANKAPPANAVAR, H. P. A Course in Universal Algebra. [s.l.]: Springer-Verlag, 1981. Dostupné online. ISBN 3-540-90578-2. 
Citováno z „https://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Stoneova_věta_o_reprezentaci&oldid=23457791“