Teorie kategorií: Porovnání verzí

Teorie kategorií studuje vlastnosti, které lze o matematických strukturách říci, aniž bychom mluvili o jejich prvcích; smíme mluvit jen o objektech, morfismech a skládání morfismů: Pokud f je morfismus z objektu ''a'' do ''b'' a ''g'' je morfismus z ''b'' do ''c'', pak existuje [[Skládání zobrazení|složený morfismus]] ''g'' o ''f'' z ''a'' do ''c''. Toto skládání je [[Asociativita|asociativní]] a pro každý objekt ''a'' existuje jednotkový morfismus 1_''a'' z ''a'' do ''a'' tak, že ''f'' o 1_''a'' = ''f'' (pro každý morfismus ''f'' z jakéhokoli objektu ''a'' do ''b'') a podobně 1_''b'' o ''g'' = ''g'' pro každý morfismus z ''a'' do ''b''.

:::: f: Z → Q tak, že f(x) = 10x

:::: g: Q → R tak, že g(x) = 2x

Teorie kategorií definuje pojmy tak, aby nebylo nutné mluvit o prvcích zkoumaných struktur. Například pojem [[prosté zobrazení]] je obvykle definován takto: zobrazení ''f'' z množiny ''A'' do ''B'' je prosté, pokud pro každé x,y <math>\in</math> A, x <math>\neq</math> y , platí f(x) <math>\neq</math> f(y).

'''V kategorii všech množin jsou monomorfismy právě prostá zobrazení.''' To lze ilustrovat na tomto příkladu: Budiž f zobrazení ze ''Z'' do ''R'' (tedy z celých do racionálních čísel) tak, že f(x) = x². Toto zobrazení není prosté, protože f(2) = f(-2). Abychom ukázali, že není monomorfismem, zvolme za objekt ''c'' množinu {2, -2}. Zobrazení ''g, h'' z ''c'' do ''Z'' zvolme takto:

Tato zobrazení nejsou totožná, neboť číslu -2 přiřazují různé hodnoty. Složeniny ''fg'' a ''fh'' však totožné jsou, neboť oběma prvkům množiny ''c'' přiřadí číslo 4.

Stejným způsobem lze o každém zobrazení, které není prosté, ukázat, že v kategorii množin není monomorfismem. Na druhou stranu, pokud zobrazení není monomorfismem, pak pro nějakou množinu ''c'', zobrazení ''f'', ''g'' a prvek x <math>\in</math> ''c'' platí, že ''g(x) <math>\neq</math> h(x)'', ale ''f(g(x)) = f(h(x))''. Prvky ''g(x)'' a ''h(x)'' pak dosvědčují, že ''f'' není prosté.

* Pro každou [[Predikátová logika prvního řádu|predikátovou]] [[Formální teorie|teorii]] je kategorií třída všech [[Model (logika)|modelů]] této teorie, přičemž morfismy jsou [[Elementární vnoření|elementární vnoření]]