|
== Názorné vysvětlení ==
=== Fyzikální význam ===
Určitý i neurčitý integrál se využívá v řadě fyzikálních definic - například určitý integrál síly podle polohy je vykonaná práce, neurčitý integrál ze zrychlení je rychlost apod.
'''Určitý integrál z rychlosti podle času je roven změně polohy''' během časového úseku od ''t<sub>1</sub>'' do ''t<sub>2</sub>''. Pokud polohu v závislosti na čase označíme <math>x(t)\,\!</math>, platí tedy
::: <math>x(t_2)-x(t1) = \int\limits_{t_1}^{t_2}v(t) \,dt\,\!</math>
Tento vzorec je zobecněním známého vztahu pro pohyb konstantní rychlostí
::: <math>x(t_2)-x(t_1) = v\cdot (t_2-t_1)\,\!</math> neboli <math>\triangle x= v \cdot \triangle t\,\!</math>
Tyto vzorce se liší pouze v tom, že ten, který využívá integrál, lze použít i pro pohyb proměnlivou rychlostí.
'''Neurčitý integrál z rychlosti podle času je poloha.''' Argumentem integrálu je zde funkce představující závislost rychlosti na čase; výsledkem je množina funkcí, které představují závislost polohy na čase. Těchto funkcí (zvaných '''[[primitivní funkce]]''') je nekonečně mnoho, jedna pro každou možnou počáteční polohu objektu. (To odpovídá fyzikální realitě, že ze znalosti rychlosti lze spočítat polohu objektu v čase ''t'', jen pokud známe jeho polohu v nějakém čase ''t<sub>0</sub>''.)
'''Příklad''': Pokud se těleso pohybuje volným pádem, pak jeho rychlost je <math>v(t) = -g.t\,\!</math>, kde <math>g\,\!</math> je [[tíhové zrychlení]] a znaménko mínus vyjadřuje směr dolů. Pro polohu pak platí:
::<math>x(t) = \int v(t)dt \,=\, \int -g.t\, dt = -\frac12 g t^2 + c \,\!</math>
Číslo <math>c \,\!</math> se nazývá '''integrační konstanta''', za níž dosazením různých hodnot dostaneme různé možné závislosti polohy na čase. Například funkce <math>x(t) = -\frac 12 g t^2 + 50 \,\!</math> popisuje volný pád z výšky 50 metrů.
'''Určitý integrál lze spočítat jako rozdíl dvou hodnot neurčitého integrálu.''' Například výpočet dráhy uražené mezi časem 3 sekundy a 5 sekund se spočte tak, že zvolíme libovolnou z primitivních funkcí (zde je nejpřirozenější volit <math>x(t) = -\frac 12 g t^2 \,\!</math> ) a spočteme její rozdíl v obou časových mezích:
:::<math> \int\limits_{3}^{5} -g.t \, dt\,\! = x(5) - x(3) = -\frac 12 g 5^2 - (-\frac 12 g 3^2) = -8.g</math>
=== Plocha pod křivkou ===
[[Soubor:Integral as region under curve.svg|thumb|Integrál jako plocha pod křivkou.]]
| 