Určitý integrál: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
Přesměrování na Integrál |
Změnil jsem to z redirectu - zkopíroval (a upravil) jsem rozsáhlý text z článku "Integrál" |
||
Řádek 1:
'''Určitý integrál''' je [[Matematika|matematický]] pojem, který funkci a dvěma číslům (tzv. mezím) přiřadí číslo (hodnotu integrálu). Určitý integrál z funkce je roven obsahu plochy ohraničené touto funkcí nebo dráze uražené tělesem, jehož rychlost je popsána touto funkcí.
Pro svoji úzkou souvislost s [[Derivace|derivací]] a [[Diferenciální rovnice|diferenciálními rovnicemi]] patří určitý i [[Neurčitý integrál|neurčitý]] integrál ke stěžejním pojmům [[Diferenciální počet|diferenciálního počtu]] a má mnoho aplikací ve fyzice, technice, [[Teorie pravděpodobnosti|teorii pravděpodobnosti]], [[Funkcionální analýza|funkcionální analýze]] i dalších oblastech matematiky a vědy.
== Názorné vysvětlení ==
=== Fyzikální význam ===
Určitý integrál se využívá v řadě fyzikálních definic - například určitý integrál síly podle polohy je vykonaná práce, určitý integrál ze zrychlení je změna rychlosti, [[Objemový integrál|objemový integrál]] z hustoty je hmotnost tělesa apod.
'''Určitý integrál z rychlosti podle času je roven změně polohy''' během časového úseku od ''t<sub>1</sub>'' do ''t<sub>2</sub>''. Pokud polohu v závislosti na čase označíme <math>x(t)\,\!</math>, platí tedy
::: <math>x(t_2)-x(t1) = \int\limits_{t_1}^{t_2}v(t) \,dt\,\!</math>
Tento vzorec je zobecněním známého vztahu pro pohyb konstantní rychlostí
::: <math>x(t_2)-x(t_1) = v\cdot (t_2-t_1)\,\!</math> neboli <math>\triangle x= v \cdot \triangle t\,\!</math>
Tyto vzorce se liší pouze v tom, že ten, který využívá integrál, lze použít i pro pohyb proměnlivou rychlostí.
Naproti tomu '''[[neurčitý integrál]] z rychlosti podle času je poloha.''' Argumentem integrálu je zde funkce představující závislost rychlosti na čase; výsledkem je množina funkcí, které představují závislost polohy na čase. Těchto funkcí (zvaných '''[[primitivní funkce]]''') je nekonečně mnoho, jedna pro každou možnou počáteční polohu objektu. (To odpovídá fyzikální realitě, že ze znalosti rychlosti lze spočítat polohu objektu v čase ''t'', jen pokud známe jeho polohu v nějakém čase ''t<sub>0</sub>''.)
'''Příklad''': Pokud se těleso pohybuje volným pádem, pak jeho rychlost je <math>v(t) = -g.t\,\!</math>, kde <math>g\,\!</math> je [[tíhové zrychlení]] a znaménko mínus vyjadřuje směr dolů. Pro polohu pak platí:
::<math>x(t) = \int v(t)dt \,=\, \int -g.t\, dt = -\frac12 g t^2 + c \,\!</math>
Číslo <math>c \,\!</math> se nazývá '''integrační konstanta''', za níž dosazením různých hodnot dostaneme různé možné závislosti polohy na čase. Například funkce <math>x(t) = -\frac 12 g t^2 + 50 \,\!</math> popisuje volný pád z výšky 50 metrů.
'''Určitý integrál lze spočítat jako rozdíl dvou hodnot neurčitého integrálu.''' Například výpočet dráhy uražené mezi časem 3 sekundy a 5 sekund se spočte tak, že zvolíme libovolnou z primitivních funkcí (zde je nejpřirozenější volit <math>x(t) = -\frac 12 g t^2 \,\!</math> ) a spočteme její rozdíl v obou časových mezích:
:::<math> \int\limits_{3}^{5} -g.t \, dt\,\! = x(5) - x(3) = -\frac 12 g 5^2 - (-\frac 12 g 3^2) = -8.g</math>
=== Plocha pod křivkou ===
[[Soubor:Integral as region under curve.svg|thumb|Integrál jako plocha pod křivkou.]]
Určitý integrál nezáporné funkce ''f''(''x'') mezi nějakými dvěma body ''a'', ''b'' je roven ploše obrazce omezeného přímkami ''x''=''a'', ''x''=''b'', osou ''x'' a křivkou definovanou [[Graf (funkce)|grafem funkce]] ''f''. Formálněji řečeno, takový integrál je roven [[míra|míře]] množiny ''S'' definované jako
:<math>S= \{(x,y) \in \mathbb{R}^2:a \leq x \leq b ,0 \leq y \leq f(x)\}</math>
Je-li funkce někde záporná, plocha nad křivkou se počítá záporně.
== Značení ==
Integrál se značí stylizovaným protaženým písmenem ''S'' (z [[latina|latinského]] ''summa''). Toto značení vytvořil [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfried Leibniz]]. Integrál z předchozího odstavce by se značil jako <math>\int\limits_a^b f(x)\,{\rm d}x</math>, kde znaménko ∫ značí integrování, ''a'' a ''b'' jsou integrační meze (jen u určitého integrálu), ''dx'' označuje proměnnou, podle které se integruje (původně označovalo [[infinitezimální hodnota|infinitezimální hodnotu]], dnes však slouží jen jako ryze symbolické označení bez dalšího významu).
== Definice ==
Pro některé funkce integrál nemusí existovat (například Newtonův nebo Riemannův integrál z [[Dirichletova funkce|Dirichletovy funkce]]), nebo může být nekonečný, například
:::<math>\int\limits_0^1\frac{1}{x}dx \,=\, +\infty\,\!</math>
Existuje mnoho definic určitého integrálu. Tyto definice se liší množinou funkcí, které jsou podle nich integrovatelné, ale pokud pro několik definicí funkce integrovatelná je, pak je hodnota integrálu stejná.
=== Newtonův integrál ===
{{Hlavní článek|Newtonův integrál}}
<math>\int\limits_a^bf(x)dx \,=\, F(b) - F(a) \,\!</math> pro libovolnou [[Primitivní funkce|primitivní funkci]] <math>F\,\!</math>, tj. pro takovou <math>F\,\!</math>, jejíž derivace je rovna <math>f\,\!</math> na celém intervalu <math><a,b>\,\!</math>
=== Zobecněný Newtonův integrál ===
Definice je stejná, jako u Newtonova integrálu, ovšem stačí, pokud derivace <math>F\,\!</math>, je rovna <math>f\,\!</math> na intervalu <math><a,b>\,\!</math> až na konečně mnoho bodů. Díky tomu lze integrovat větší okruh funkcí (například po částech konstantní funkce).
=== Riemannův integrál ===
{{Hlavní článek|Riemannův integrál}}
[[Bernhard Riemann|Riemann]] použil v roce [[1854]] závěry [[Augustin Louis Cauchy|Cauchyho]] a definoval tzv. [[Riemannův integrál]] jako [[limita|limitu]] [[nekonečno|nekonečného]] [[součet|součtu]]. Šlo o první definici integrálu odpovídající dnešním měřítkům.
{{Pahýl část}}
== Lebesgueův integrál ==
{{Hlavní článek|Lebesgueův integrál}}
Na základě [[Lebesgueova míra|Lebesgueovy míry]] vytvořil [[Henri Lebesgue|Lebesgue]] tzv. [[Lebesgueův integrál]]. Má podobnou definici jako Riemannův, ale třída integrovatelných funkcí je v něm mnohem širší - dokonce se bez [[Axiom výběru|axiomu výběru]] nedá prokázat, že existuje funkce, která není Lebesgueovsky integrovatelná.
Podobný postup použili i další matematici. Lebesgueův integrál a další, ještě pokročilejší integrály, umožňují integrovat širší třídy funkcí, platí pro ně silnější verze mnoha tvrzení a skýtají i mnoho jiných výhod. Patří mezi ně například [[Stieltjesův integrál]] nebo [[Kurzweilův integrál]].
== Vlastnosti ==
=== Záměna sumy a integrálu ===
Je-li dána řada [[funkce (matematika)|funkcí]] <math>\displaystyle f_n(x)</math> [[spojitost|spojitých]] na [[interval (matematika)|intervalu]] <math>\langle a,b\rangle</math> a pokud suma <math>\sum_{n=n_0}^\infty f_n(x)</math> [[konvergence|konverguje]] [[stejnoměrná konvergence|stejnoměrně]], pak lze zaměnit sumu s integrálem:
:<math>\sum_{n=n_0}^\infty{\int\limits_a^b{f_n(x)\,\mathrm{d}x}} = \int\limits_a^b{\sum_{n=n_0}^\infty{f_n(x)}\,\mathrm{d}x}</math>
=== Záměna limity a integrálu ===
Je-li <math>\displaystyle f(a,x)</math> funkce spojitá na příslušných definičních oborech <math>\displaystyle a, x</math> a pokud má [[integrovatelná majoranta|integrovatelnou majorantu]] <math>\displaystyle g(x)</math> takovou, že <math>\displaystyle |f(a,x)|< g(x)</math> pro dané hodnoty parametru a že <math>\int_M g(x)\,\mathrm{d}x<+\infty</math>, pak lze zaměnit limitu s integrálem:
:<math>\lim_{a\to a_0}\int_M{f(a,x)\,\mathrm{d}x}=\int_M{\lim_{a\to a_0}f(a,x)\,\mathrm{d}x}</math>
=== Záměna derivace a integrálu ===
''Viz [[Integrál#Integrace metodou derivování podle parametru|Integrace metodou derivování podle parametru]]''.
== Aplikace ==
{{viz též|Aplikace integrálu}}
Možnosti použití určitého integrálu jsou velmi rozsáhlé.
Pomocí určitého integrálu lze určit např. [[obsah]] [[rovina|rovinného]] obrazce, [[délka|délku]] [[oblouk křivky|oblouku rovinné křivky]], obsah [[rotační plocha|rotační plochy]] nebo [[objem]] [[rotační těleso|rotačního tělesa]].
Ve [[fyzika|fyzice]] pak určitý integrál můžeme použít při výpočtu např. [[statický moment|statických momentů]], [[moment setrvačnosti|momentů setrvačnosti]], [[těžiště]] tělesa nebo [[hmotnost]]i.
== Komplexní integrál ==
{{viz též|Integrál komplexní funkce}}
V [[komplexní číslo|komplexních číslech]] se zpravidla užívají [[křivkový integrál|křivkové integrály]]. Pokud tyto integrály probíhají po uzavřené [[křivka|křivce]] v [[komplexní rovina|komplexní rovině]], lze je zpravidla snadno spočíst pomocí [[reziduová věta|reziduové věty]], [[Cauchyův vzorec|Cauchyova vzorce]] nebo [[Cauchyova věta|Cauchyovy věty]].
== Vícerozměrný integrál ==
{{viz též|Vícerozměrný integrál}}
Integraci pro funkce více proměnných lze zavést podobně jako pro funkce jedné proměnné. Integrace probíhá vždy na určité oblasti <math>\displaystyle\Omega</math>. Je-li <math>\displaystyle f(x_1,x_2,...,x_n)</math> funkcí <math>\displaystyle n</math> proměnných, pak její integrál na určité ''n''-rozměrné oblasti <math>\displaystyle\Omega</math> označujeme jako ''vícerozměrný'' (<math>n</math>-rozměrný, např. dvourozměrný, trojrozměrný apod.) ''integrál'', přičemž jej zapíšeme některým z následujících způsobů
:<math>{\iint\cdots\int}_{\!\!\!\Omega} f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\,\mathrm{d}\Omega = {\iint\cdots\int}_{\!\!\!\Omega} f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\,\mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \cdots \mathrm{d}x_n = {\iint \cdots \int}_{\!\!\!\Omega} f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\,\mathrm{d}^n x</math>
Počet integračních znaků <math>\int</math> odpovídá počtu proměnných, přes které integrujeme. Je-li ze zápisu integrálu zjevné, že se jedná o vícerozměrný integrál, pak zapisujeme pouze jeden integrační znak, např.
:<math>\int_\Omega f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\,\mathrm{d}\Omega \,</math>
Vícerozměrné integrály se obvykle řeší převodem na vícenásobnou integraci pomocí [[Fubiniova věta|Fubiniovy věty]].
==Odkazy==
=== Literatura ===
* [[Karel Rektorys|Rektorys, K.]] a spol.: ''Přehled užité matematiky I.''. Prometheus, Praha, [[2003]], 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5
=== Související články ===
{{Wikiknihy|Integrování|Integrování}}
* [[Primitivní funkce]]
* [[Hlavní hodnota integrálu]]
* [[Diferenciální počet]]
* [[Integrální rovnice]]
* [[Gaussův integrál]]
* [[Nevlastní integrál]]
* [[Numerická integrace]]
* [[Integrál pohybu]]
=== Externí odkazy ===
* [http://integrals.wolfram.com/index.jsp Online výpočet integrálu]
* [http://user.mendelu.cz/marik/maw/index.php?form=integral MAW - matematické výpočty online] umožňuje online výpočet integrálů, včetně krokování postupu a automatického návrhu, jakou metodu pro výpočet použít.
{{Portály|Matematika}}
[[Kategorie:Integrální počet]]
| |||