Wikipedie

Topologický prostor: Porovnání verzí

Interaktivně procházet historii
← Přejít na předchozí porovnáníPřejít na další porovnání →
Smazaný obsah Přidaný obsah
VizuálníWikitext
m české uvozovky
Řádek 3:
== Neformální úvod ==
 
Pojmy [[uzavřená množina]], [[Kompaktní množina|kompaktní množina]], [[Spojité zobrazení|spojité zobrazení]], [[Konvergentní posloupnost|konvergence posloupnosti]] a mnohé další byly původně zavedeny pro podmnožiny [[Reálná čísla|reálných čísel]]. Lze je však podobně definovat na každé množině, jejímž dvojicím prvků lze přiřadit jakousi "vzdálenost"„vzdálenost“ od ostatních prvků (například na množně [[Spojitá funkce|spojitých]] [[Matematická funkce|funkcí]] lze jako "vzdálenost"„vzdálenost“ prvků chápat buď [[Určitý integrál|integrál]] z jejich rozdílu, nebo maximum z jejich rozdílu apod.).
 
Jelikož se takto zavedené pojmy ukázaly v matematice jako užitečné, byly formalizovány pomocí pojmu [[metrický prostor]], což je každá množina vybavená funkcí, která splňuje několik axiomů, které zajišťují jistou míru podobnosti této funkce s klasickou vzdáleností. Metrický prostor je velmi obecná [[matematická struktura]], takže je-li nějaké tvrzení dokázáno pro každý metrický prostor, [[Strukturní přístup|není již třeba]] jej ověřovat zvlášť pro čísla, pro body prostoru, pro funkce atd. (Totéž platí pro topologický prostor.)
 
Pojem "Topologický„topologický prostor"prostor“ vznikl proto, aby bylo možné mnoho metrických pojmů (viz příklady výše) rozšířit na ještě širší skupinu množin, včetně některých, na nichž nemá smysl zavádět strukturu metrického prostoru. Příkladem takových množin jsou [[Ordinální číslo|ordinální čísla]].
 
V metrických prostorech má každý z těchto pojmů svoji definici pomocí metriky, stejně jako pojem [[otevřená množina]]. Topologie pracuje naopak tak, že se stanoví, které množiny pokládáme za otevřené, a všechny ostatní pojmy definujeme pomocí otevřených množin (nikoli pomocí metriky).
Řádek 13:
Topologickým prostorem je tedy každá množina (tzv. [[nosná množina]]) spolu se systémem jejích podmnožin (tzv. otevřené množiny), pokud splňují axiomy, které topologický prostor definují.
 
Každý metrický prostor je automaticky topologickým prostorem, protože systém všech podmnožin "otevřených„otevřených v metrickém smyslu" smyslu“ vždy tyto axiomy splňuje. Potom pojmy definované topologicky splývají s pojmy zavedenými pomocí metriky - například zobrazení mezi dvěma metrickými prostory je spojité v metrickém smyslu právě tehdy, pokud je spojité v topologickém smyslu.
 
Topologie je velmi abstraktní disciplína; v porozumění definicím a větám pomáhá si je nejprve představit na reálných číslech, poté v rovině či [[Euklidovský prostor|euklidovském prostoru]] <math> \R^n \,\!</math>, poté na metrickém prostoru a nakonec v obecném topologickém prostoru.
Řádek 37:
Topologie zkoumá tvar objektů bez přihlédnutí ke vzdálenostem. Například písmena K a I jsou topogicky shodná (homeomorfní), pokud je chápeme jako dvojrozměrné útvary (tužka kreslí čáru o nenulové tloušťce), protože písmeno I vyrobené z velmi pružné gumy lze vytvarovat v K (a také v C,E,F,G,J,L atd.). Písmeno O je topolgicky shodné s A,D,P, zatímco písmeno B je topologicky shodé s číslicí 8.
 
Pokud písmena chápeme jako křivku ve dvourozměrném prostoru (jako tužka kreslící úsečky o nulové tloušťce), pak písmena E a T (bez patiček) jsou topologicky shodná navzájem, ale liší se od K, neboť K má bod, ze kterého "vyhýbají"„vyhýbají“ čtyři křivky (je jedno, zda jsou to úsečky nebo křivé čáry), zatímco E takový bod nemá.
 
Každé dvě křivky, které neprotínají samy sebe jsou homeomorfní (například písmena I a L - nezáleží na tom, že L má ostrý zlom).
Citováno z „https://cs.wikipedia.org/wiki/Topologický_prostor“