|
<!-- takže při jejím přejmenování prosím opatrně --Pavel_Jelinek, září 2010
<!--------------------------------------------------------------------- -->
== Význam abstraktní algebry ==
Studim abstraktních struktur často přináší cenné poznatky o konkrétních objektech.
Příklad:
* Matematik si všimne společných vlastností dvourozměrného [[Euklidovský_prostor|prostoru]], třírozměrného prostoru a množiny všech integrovatelných funkcí (což jsou všechno konkrétní matematické objekty). Z těchto vlastností vybere některé vhodné a pomocí jich definuje abstraktní pojem [[Lineární prostor|Lineární vektorový prostor]] (LVP).
* Vědecká komunita zkoumá různé věty platné v [[Euklidovský prostor#Lineární algebra|Euklidovském prostoru]], zda je lze dokázat s využitím jen těch vlastností Euklidovského prostoru, které jsou obsaženy v definici LVP. Pokud takový důkaz existuje, věta platí pro každý LVP a není třeba ji ověřovat zvlášť pro funkce, zvlášť pro matice apod.
* Různé příklady konkrétních LVP přitom poskytují cenné vodítko (co by asi mohlo platit) a [[protipříklad]]y (například [[Lp_prostor|prostor integrovatelných funkcí]] je protipříkladem k případné hypotéze, že každý LVP má konečnou [[Báze (algebra)|bázi]]).
* Takto může někdo například zobecnit algoritmus založený na [[Metoda nejmenších čtverců|metodě nejmenších čtverců]], který umožňuje k bodu v LVP najít nejlepší [[aproximace|aproximaci]] v daném [[podprostor]]u (například chceme-li bod mimo [[rovina|rovinu]] aproximovat bodem v této rovině, nejlepší aproximací je [[kolmý průmět]]). Může se stát, že by nikoho nenapadlo tuto konstrukci provést s funkcemi, ale někoho napadne ověřit, zda ten algoritmus neplatí v každém LVP. V tomto případě je odpověď kladná. Tento algoritmus je principem [[Fourierova transformace|Fourierovy transformace]], která umožňuje například záznam hudby velmi efektivně aproximovat součtem několika funkcí [[sinus]] a [[kosinus]]. Výsledkem je formát pro ukládání hudby, který za cenu nepatrné ztráty kvality dosáhne velkého snížení datového objemu oproti pravidelnému [[Vzorkování]].
* Takto studium abstraktních struktur přineslo konkrétní užitečný výsledek.
== Přehled zkoumaných struktur ==
| 