Axiom výběru: Porovnání verzí

'''Axiom výběru''' (ozn. '''(AC)''' z angl. ''axiom of choice'') je [[axiom]] často přidávaný k obvyklým axiomům [[Zermelova–Fraenkelova teorie množin|Zermelovy–Fraenkelovy]] [[teorie množin]] (ZF). Poprvé jej formuloval [[Ernst Zermelo]] v roce [[1904]].

Důležitou vlastností (AC) je to, že umožňuje ke každému souboru množin získat soubor jejich prvků, z každé množiny jeden, a to bez znalosti jakéhokoli [[algoritmus|algoritmu]], kterým by tento výběr prvků mohl být proveden, pouze z předpokladu neprázdnosti souboru i jednotlivých množin (tj. nekonstruktivně). Na konečném souboru množin je (AC) snadno dokazatelný – i podle selského rozumu je zřejmé, že vybrat z každé hromady kamení jeden kámen není žádný problém. Problémem začíná být až nekonečný soubor množin, a to především soubory „hodně nekonečné“ ([[nespočetná množina|nespočetné]], bez [[dobře uspořádaná množina|dobrého uspořádání]]).

V některých odvětvích [[matematika|matematiky]], zejména v nekonečné [[kombinatorika|kombinatorice]], ale například i v [[matematická analýza|matematické analýze]], se (AC) ukazuje jako zcela nezbytný předpoklad pro rozvoj těchto disciplín. S (AC) je ekvivalentní řada principů teorie množin, které zásadním způsobem „učesávají“ svět teorie množin – nejznámějšími z nich jsou [[princip maximality]] a [[Zermelova věta|princip dobrého uspořádání]]. Přijetím axiomu výběru se tedy svět teorie množin stává (z pohledu jeho příznivců) přehlednějším, ale ne zas tolik, aby přestal být zajímavým.

Odpůrci zařazení (AC) mezi standardní axiomy teorie množin (například [[konstruktivismus (matematika)|konstruktivisté]]) poukazují na jeho odlišný charakter od ostatních podobných axiomů teorie množin, které obvykle postulují možnost vytvoření nové množiny z již existujících množin jednoduchým a přehledným způsobem (viz [[Zermelova-Fraenkelova teorie množin#Axiom sumy|axiom sumy]], [[Zermelova-Fraenkelova teorie množin#Axiom potenční množiny|axiom potence]], [[Zermelova-Fraenkelova teorie množin#Axiom dvojice|axiom dvojice]]). Na rozdíl od nich (AC) nedává žádnou představu o tom, jak výběrová funkce (viz formulace axiomu) vypadá – je tedy spíše „čistě existenční“ než „konstrukční“.

Druhým argumentem je, že (AC) příliš omezuje rozmanitost objektů ve světě teorie množin – podle principu dobrého uspořádání ekvivalentního s (AC) lze každou množinu uspořádat tak, aby byla [[izomorfismus|izomorfní]] s některým [[ordinální číslo|ordinálním číslem]] – to tvrzení tak vlastně říká, že teorie množin nepopisuje žádné objekty, které by nešlo dobře uspořádat.

Dalo by se říci, že svět ZF s (AC) stojí někde na půli cesty mezi rozmanitým, ale hůře popsatelným a použitelným světem ZF bez (AC), a mezi příliš omezeným a zjednodušeným, ale zato dokonale přehledným světem ZF s [[axiom konstruovatelnosti|axiomem konstruovatelnosti]].

(AC) je [[bezespornost|bezesporný]] neboli [[Bezesporná teorie|konzistentní]] s ostatními [[axiom]]y Zermelovy-Fraenkelovy teorie množin (je takzvaně relativně bezesporný s ZF). Platí totiž v jednom [[model (logika)|modelu]] teorie množin, a to v univerzu [[konstruovatelná množina|konstruovatelných množin]], což dokázal v roce [[1940]] [[Kurt Gödel]]. V tomto modelu platí dokonce [[axiom silného výběru]] a dále například [[zobecněná hypotéza kontinua]].

Také negace (AC) je relativně bezesporná s ZF, a tedy (AC) je [[nezávislost (logika)|nezávislý]] na axiomech ZF. Přidáním negace (AC) k ZF však vzniká již teorie s dosti podivnými vlastnostmi (lze v ní například bezesporně předpokládat neplatnost klasické [[Heineho věta|Heineho věty]]).