Verze z 22. 9. 2015, 19:41 editovat RPekař (diskuse \| příspěvky) Prověření uživatelé, Patroláři 24 799 editací m →‎Definice: linkfix ← Přejít na předchozí porovnání		Verze z 9. 8. 2021, 15:10 editovat zrušit editaci JAnDbot (diskuse \| příspěvky) Roboti 1 711 609 editací m {{Autoritní data}}; kosmetické úpravy Přejít na další porovnání →
Řádek 1: Matematický pojem '''tečný prostor''' [[varieta (matematika)\|variety]] v daném bodě značí množinu všech jejích tečných vektorů "vázaných" v tomto bodě, viz ''Obr. 1''. Na každém tečném prostoru je přirozeným způsobem dána struktura [[vektorový prostor\|vektorového prostoru]]; odtud tedy označení tečný ''prostor''. [[Soubor:Image_Tangent-plane.svg\|vpravo\|náhled\|Obr. 1: Intuitivní geometrická představa tečného prostoru koule]] == Definice == Pokud <math>M</math> je hladká varieta a <math>\mathcal{F}(M)</math> značí množinu všech hladkých funkcí definovaných na <math>M</math>, pak ''tečným prostorem'' <math>T_x{}M</math> variety <math>M</math> v bodě <math>x\in{}M</math> nazveme množinu všech [[funkcionál~~\|funkcionálů~~]]ů <math>W:\mathcal{F}(M)\rightarrow\mathbb{R}</math> splňujících: # <math>W(\alpha{}f+\beta{}g)=\alpha\,W(f)+\beta\,W(g),\quad{}W\in\alpha,\beta\in\mathbb{R}</math>, <math>f,g\in\mathcal{F}(M)</math> # <math>W(fg)=f(x)\,W(g)+g(x)\,W(f),\quad{}f,g\in\mathcal{F}(M)</math> Každý prvek <math>T_x{}M</math> nazveme tečným vektorem <math>M</math> v bodě <math>x</math>. == Vlastnosti == === Lineární struktura === Definujeme-li na <math>T_x{}M</math> sčítání dvou prvků <math>W,X\in{}T_x{}M</math>, <math display="block">(W+X)(f):=W(f)+X(f),\quad{}f\in\mathcal{F}(M)</math> tvoří <math>T_x{}M</math> vektorový prostor. Navíc lze za pomocí vlastností ''1'' a ''2'' definice ukázat, že je konečněrozměrný a jeho dimenze je rovna dimenzi variety <math>M</math>. === Tečný vektor v lokálních souřadnicích === Pokud máme na varietě <math>M</math> lokální systém souřadnic <math>(\mathcal{O},y^i)</math>, <math>x\in\mathcal{O}</math>, můžeme tečný vektor <math>W\in{}T_x{}M</math> rozvinout v bázi [[souřadnicové vektorové pole\|souřadnicových vektorových polí]] <math>\left(\partial/\partial{}y^i\right)_{i=1}^{\mathrm{dim}M}</math>: <math display="block">W=\sum_{i=1}^{\mathrm{dim}M}W(y^i)\frac{\partial}{\partial{}y^i}\|_x</math> == Příklad == [[Soubor:Tangentialvektor.svg\|vpravo\|náhled\|Obr.2: Tečný vektor křivky <math>\gamma(t)</math> v bodě <math>x</math>]] Jestliže <math>\gamma(t):I\rightarrow{}M</math> (<math>I</math> je otevřený interval v <math>\mathbb{R}</math>) je hladká křivka na varietě <math>M</math> procházející bodem <math>x\in{}M</math> v <math>t=0</math>, je zobrazení Řádek 23 ⟶ 24: tečným vektorem variety <math>M</math> v bodě <math>x</math> a současně tečným vektorem křivky <math>\gamma(t)</math> v <math>x</math>. == Literatura == * Fecko M., Differential Geometry and Lie Groups for Physicists, Cambridge 2006 * Krump L., Souček V., Těšínský J. A.: Matematická analýza na Varietách, skripta MFF UK, Karolinum 1999 * Kowalski O., Úvod do Riemannovy geometrie, Univerzita Karlova, Praha 1995 {{Autoritní data}} {{Portály\|Matematika}}

Tečný prostor: Porovnání verzí