Verze z 3. 4. 2014, 23:49 editovat Harold (diskuse \| příspěvky) Prověření uživatelé, Patroláři, Správci 269 660 editací m přidána Kategorie:Lineární algebra za použití HotCat ← Přejít na předchozí porovnání		Verze z 8. 8. 2021, 21:14 editovat zrušit editaci JAnDbot (diskuse \| příspěvky) Roboti 1 716 378 editací m robot: přidáno {{Autoritní data}}; kosmetické úpravy Přejít na další porovnání →
Řádek 2: == První věta o dimenzi == Nechť <math> \scriptstyle V</math> je [[vektorový prostor]] nad [[těleso (algebra)\|tělesem]] <math> \scriptstyle \mathbb{T}</math>. Dále nechť <math> \scriptstyle P</math> a <math> \scriptstyle Q</math> jsou [[Vektorový podprostor\|podprostory]] prostoru <math> \scriptstyle V</math> konečných dimenzí, tj. <math> \scriptstyle P,Q \subset\subset V</math>, <math> \scriptstyle \dim P < \infty</math>, <math> \scriptstyle \dim Q < \infty</math>. Pak platí :<math> \dim(P + Q) + \dim(P \cap Q) = \dim P + \dim Q.</math> Pro [[direktní součet podprostorů]] pak speciálně :<math> \dim(P \oplus Q) = \dim P + \dim Q.</math> === Důkaz === Pokud je <math> \scriptstyle P</math> podprostor prostoru <math> \scriptstyle Q</math>, tj. <math> \scriptstyle P \subset \subset Q</math>, tak tvrzení věty zjevně platí, neboť pak <math> \scriptstyle Q = P + Q</math>, <math> \scriptstyle P = P \cap Q</math> a <math> \scriptstyle \dim P = \dim (P \cap Q)</math>, <math> \scriptstyle \dim Q = \dim (P + Q)</math>. Totožně by se postupovalo, byl-li by <math> \scriptstyle Q</math> podprostorem <math> \scriptstyle P</math>. Nechť tedy dále není ani jeden podprostor podmnožinou toho druhého. V obou podprostorech určitě leží [[nulový vektor]], můžeme proto rozlišit případ, kdy je průnik <math> \scriptstyle P \cap Q = \{ \vec{0} \}</math> a kdy v průniku leží i nějaký nenulový vektor. Předpokládejme nejprve druhou zmíněnou možnost, tzn. v průniku obou podprostorů leží nenulový vektor. Protože [[průnik]] podprostorů je opět podprostor je tato podmínka ekvivalentní tomu, že průnik <math> \scriptstyle P</math> a <math> \scriptstyle Q</math> je [[Vektorový podprostor\|netriviální podprostor]]. Z konečnosti dimenzí <math> \scriptstyle P</math> a <math> \scriptstyle Q</math> musí být tento podprostor konečněrozměrný, nechť <math> \scriptstyle \dim (P \cap Q) = n \ < \ + \infty</math>. V <math> \scriptstyle P \cap Q</math> tedy existuje <math> \scriptstyle n</math>-členná báze <math> \scriptstyle \{ \vec{e}_1, \ldots, \vec{e}_n \}</math>. Nechť <math> \scriptstyle \dim P = p \ < \ + \infty </math> a <math> \scriptstyle \dim Q = q \ < \ + \infty </math>. Je zřejmé, že <math> \scriptstyle n < p, n < q</math>. Myšlenka důkazu je taková, že bázi průniku doplníme na bázi prostorů <math> \scriptstyle P</math> a <math> \scriptstyle Q</math>. Z toho už bude tvrzení věty ihned vyplývat. Protože <math> \scriptstyle P \cap Q \subset P</math> a <math> \scriptstyle P \cap Q \subset Q</math>, lze zřejmě doplnit bázi průniku <math> \scriptstyle P \cap Q</math> jednak na bázi prostoru <math> \scriptstyle P</math>, jednak na bázi prostoru <math> \scriptstyle Q</math>. Označme bázi prostoru <math> \scriptstyle P</math> a prostoru <math> \scriptstyle Q</math> po řadě Řádek 54 ⟶ 52: === Příklad === Uvažujme vektorový prostor <math> \scriptstyle \mathbb{R}^5 </math> s klasicky definovanými operacemi sčítání a násobení vektoru číslem. Mějme v tomto prostoru dva [[lineární obal]]y tvaru Řádek 88 ⟶ 85: == Druhá věta o dimenzi == Nechť <math> \scriptstyle P</math> a <math> \scriptstyle Q</math> jsou dva [[vektorový prostor\|vektorové prostory]] nad stejným číselným [[těleso (algebra)\|tělesem]] <math> \scriptstyle \mathbb{T}</math> a nechť <math> \scriptstyle A</math> je [[lineární zobrazení]] z prostoru <math> \scriptstyle P</math> do prostoru <math> \scriptstyle Q</math>, tj. <math> \scriptstyle A \in \mathcal{L}(P,Q)</math>. Dále nechť <math> \scriptstyle P</math> má konečnou dimenzi, tj. <math> \scriptstyle \dim P < \infty</math>. Pak platí vztah Řádek 96 ⟶ 92: === Důkaz === Označme si <math> \scriptstyle \dim P = n </math>. Lze ukázat, že vzor množiny lineárně nezávislých vektorů při lineárním zobrazení je opět soubor lineárně nezávislých vektorů. To znamená, že kdyby v množině <math> \scriptstyle A(P) </math> (tj. vzoru prostoru <math> \scriptstyle P </math> při zobrazení <math> \scriptstyle A </math>) bylo více než <math> \scriptstyle n </math> lineárně nezávislých vektorů, tak je tolik lineárně nezávislých vektorů i v prostoru <math> \scriptstyle P </math>, což je spor s tím, že dimenze <math> \scriptstyle P </math> je <math> \scriptstyle n </math>. Dimenze obrazu zobrazení <math> \scriptstyle A </math> je tedy konečná a není větší než <math> \scriptstyle n </math>. Označme si tuto dimenzi jako <math> \scriptstyle k </math>. V <math> \scriptstyle A(P) </math> tedy existuje <math> \scriptstyle k</math>-členná báze, označme si bazické vektory jako <math> \scriptstyle \vec{y}_1, \ldots, \vec{y}_k </math>. Vektory <math> \scriptstyle \vec{x}_i </math> z prostoru <math> \scriptstyle P </math> takové, že <math> \scriptstyle (\forall i \in \{ 1, \ldots, k)(A \vec{x}_i = \vec{y}_i) </math> (tj. vzory <math> \scriptstyle \vec{y}_i </math> při zobrazení <math> \scriptstyle A </math>) tvoří <math> \scriptstyle k</math>-člennou lineárně nezávislou množinu vektorů v <math> \scriptstyle P</math>. Jejich lineární obal tedy tvoří <math> \scriptstyle k</math>-rozměrný podprostor prostoru <math> \scriptstyle P</math>, označme si ho jako <math> \scriptstyle Q</math>. Platí tedy <math> \scriptstyle Q \subset \subset P</math>, kde Řádek 123 ⟶ 118: Pro libovolný vektor <math> \scriptstyle \vec{x} \in P</math> jsme tak nalezli jeho rozklad do podprostorů <math> \scriptstyle \ker A</math> a <math> \scriptstyle Q</math>. Nyní ukažme, že se jedná o [[direktní součet]]. To je ekvivalentní tomu, že v průniku podprostorů <math> \scriptstyle \ker A</math> a <math> \scriptstyle Q</math> leží jen [[nulový vektor]], tj. <math> \scriptstyle \ker A \cap Q = \{ \vec{0} \}</math>. Vezměme tedy nějaký vektor <math> \scriptstyle \vec{x}</math> z průniku <math> \scriptstyle \ker A \cap Q</math>. Pokud o něm zjistíme, že je nulový, tak jsme hotovi. O libovolném vektoru z průniku jsme totiž ukázali, že je nulový. Protože <math> \scriptstyle \vec{x} \in \ker A \cap Q</math>, je určitě <math> \scriptstyle \vec{x} \in Q</math>. Existuje tedy <math> \scriptstyle k</math>-tice koeficientů <math> \scriptstyle \beta_1, \ldots, \beta_k</math> z tělesa taková, že :<math> \vec{x} = \sum_{i=1}^k \beta_k \vec{x}_i.</math> Řádek 144 ⟶ 139: === Příklad === Uvažujme reálný konečněrozměrný [[vektorový prostor]] <math> \scriptstyle V</math> a k němu prostor [[Duální prostor\|duální]], nechť <math> \scriptstyle \dim V = n</math>. Mějme <math> \scriptstyle f</math>, funkcionál z duálního prostoru, a nechť <math> \scriptstyle \vec{x}</math> je vektor takový, že <math> \scriptstyle f(\vec{x}) = 1</math>. Protože <math> \scriptstyle f</math> je funkcionál, je jeho obor hodnot z definice podmnožinou tělesa <math> \scriptstyle \mathbb{R}</math>, což je současně reálný vektorový prostor dimenze jedna, <math> \scriptstyle \dim \mathbb{R} = 1</math>. Neboť je <math> \scriptstyle f</math> zjevně nenulový, je jeho obor hodnot jednodimenzionální (kdyby byl nulový, zobrazuje každý vektor na nulu a jeho obor hodnot má tedy dimenzi nula). Z druhé věty o dimenzi vyplývá, že dimenze [[Lineární zobrazení\|jádra]] funkcionálu <math> \scriptstyle f</math> je Řádek 152 ⟶ 146: == Literatura == * {{Citace monografie \| titul=Lineární algebra a geometrie Řádek 162 ⟶ 155: \| isbn=978-80-01-04063-8 }} – skripta FJFI ČVUT {{Autoritní data}} [[Kategorie:Lineární algebra]]

Věty o dimenzi: Porovnání verzí