Verze z 6. 10. 2017, 09:06 editovat JAnDbot (diskuse \| příspěvky) Roboti 1 711 609 editací m Robot: přidáno {{Autoritní data}}; kosmetické úpravy ← Přejít na předchozí porovnání		Verze z 11. 12. 2017, 17:12 editovat zrušit editaci Mykhal (diskuse \| příspěvky) Prověření uživatelé, Patroláři, Revertéři, Správci 40 128 editací m fmt - oprava odsazení vzorců Přejít na další porovnání →
Řádek 30: Jedna z nejdůležitějších charakteristik sloužící pro popis diskrétní náhodné veličiny je [[střední hodnota]] označená ''E (X)'', která je definovaná následujícím vzorcem: :<math>E(X)=\sum_{x_k}x_k*P(X=x_k) </math> Výpočet se provádí tak, že se vynásobí hodnoty diskrétní náhodné veličiny jimi příslušnými hodnotami pravděpodobnostní funkce, a poté se tyto součiny sečtou. Rozlišujeme geometrickou a statistickou interpretaci střední hodnoty. '''Geometricky''' se střední hodnota znázorňuje jako bod na ose reálných čísel, na níž jsou hodnoty náhodné veličiny. Podle '''statistické interpretace''' představuje střední hodnota číslo, kolem něhož kolísají výběrové průměry vypočtené ze sérií pozorovaných hodnot náhodné veličiny.<ref name=":2" /> ==== Výběrový průměr ==== [[Výběrový průměr]], který nese označení ''̅x'' , se počítá dle vzorce: :<math>\tilde{x}=\sum_{i=1}^n \frac{x_i}{n}, </math> ̅ kde ''x<sub>i</sub>'' jsou hodnoty náhodné veličiny ''X'' Řádek 44: ==== Rozptyl (variance, disperze) ==== [[Rozptyl (statistika)\|Rozptyl]] se značí ''D (X)'' a vyjadřuje velikost odchylek hodnot diskrétní náhodné veličiny ''X'' od její střední hodnoty, přičemž bere v úvahu, jak je pravděpodobnost v těchto bodech rozdělena. Rozptyl se vypočítá následovně: :<math>D(X)=\sum_{x_k}{x_k}^2P(X=x_k)- [E(X)]^2. </math> Samotnou hodnotu rozptylu určíme tak, že vypočteme součiny kvadrátů hodnot diskrétní náhodné veličiny s jimi příslušnými hodnotami pravděpodobnostní funkce a potom součiny sečteme. Od získaného součtu odečteme kvadrát střední hodnoty.<ref name=":2" /> ==== Směrodatná odchylka ==== Jelikož rozptyl má rozměr kvadrátu, je [[směrodatná odchylka]], značená ''σ (X)'' vhodnějším vyjádřením charakteristiky dané náhodné veličiny, protože se vypočítá jako [[odmocnina]] z rozptylu ''D (X)''. :<math>\sigma(X)=\sqrt{ D(X)}. </math> Směrodatná odchylka vyjadřuje, o kolik je hodnota náhodné veličiny vzdálena od střední hodnoty.<ref name=":2" /> Řádek 59: 2015 [cit. 2015-03-09]. Dostupné z: http://homen.vsb.cz/~oti73/cdpast1/KAP04/PRAV4.HTM</ref> :<math>P(A)=P(X=1)=p </math> :<math>P(A)=P(X=0)=1-p </math> <ref name=":1" /> ==== [[Binomické rozdělení]] ==== Toto rozdělení udává rozdělení náhodných veličin jako úspěchů v posloupnosti ''n'' opakovaných nezávislých pokusech. Pravděpodobnost výskytu jevu je zde stále stejná.<ref name=":0" /><blockquote>Toto rozdělení tedy označujeme jako Bi (n,p), což naznačuje ''n'' náhodných pokusů při ''p'' [[pravděpodobnost]]i úspěchu v každém pokusu. <ref name=":1" /></blockquote> :<math>P[X=x] = {n \choose x}p^x(1-p)^{n-x}</math>, kde x = 0, 1 <ref name=":1" /> Zde se vychází z ''Bernoulliova pokusu'', který spočívá v tom, že v daném náhodném pokusu mohou nastat pouze dva stavy: ''A, A'' s pravděpodobností ''p, 1−p''. To lze modelovat tzv. ''[[binární]] náhodnou proměnnou Y'', pro kterou platí: ''P(Y = 1) = p'' a ''P(Y = 0) = 1−p''. Platí: <ref name=":1" /> :<math>E(Y)=1.p+0.(1-p)=p </math> :<math>D(Y)=E(Y-p)^2=p.(1-p)^2+(1-p)p^2=(1-p).p </math> <ref name=":1" /> Náhodná proměnná ''X'' vznikne jako součet ''n'' nezávislých binárních proměnných ''Y<sub>i</sub>'' s hodnotami 0 nebo 1, které mají všechny stejné rozdělení určené parametrem ''p'': <ref name=":1" /> Z tohoto vyplývají i určité charakteristiky tohoto rozdělení. :<math>\operatorname{E}(X)=np</math> :<math>\operatorname{D}(X) = np(1-p)</math> <ref name=":1" /> ==== [[Hypergeometrické rozdělení]] ==== <blockquote>Toto rozdělení Hg (N,A,n) předpokládá, že v souboru N prvků, je označeno A prvků, přičemž z n prvků vybíráme náhodně. Náhodná veličina zde tedy ukazuje počet vybraných prvků. </blockquote>Zápis pak vypadá takto: <ref name=":0" /> :<math>\operatorname{P}(X=x) = \begin{cases} {{{A \choose x} {{N-A} \choose {n-x}}}\over {N \choose n}} & \text{pro } x \in \langle \text{max} (0,A-N+n),..., \text{min} (A,n) \rangle \\ 0 & \text{jinak.} \end{cases} </math> Vlastnosti tohoto rozdělení tedy lze vyjádřit tímto způsobem: :<math>\operatorname{E}(X) = \frac{n \cdot A}{N}</math> :<math>\operatorname{D}(X) = n \frac{A}{N} \left(1 - \frac{A}{N} \right) \left(\frac{N-n}{N-1} \right) </math> ==== [[Poissonovo rozdělení]] ==== <blockquote>Poissonovo rozdělení udává svou náhodnou veličinou počet výskytů, jež nastanou v nějakém určitém časovém intervalu. Parametr lambda vyjadřuje střední hodnotu výskytů v dané oblasti. </blockquote>Toto rozdělení se používá hlavně tam, kde je počet výskytů vzácný, neobvyklý. <ref name=":0" /> :<math>P(X=x) = \frac{\lambda^x}{x!}\mathrm{e}^{-\lambda}</math> v daném jednotkovém úseku, kde x = 0,1,2,... ; <math> \lambda>0</math> je parametr. <ref name=":1" /> Vlastnosti rozdělení vypadají takto: :<math>E(X) = \lambda </math> :<math>D(X) = \lambda </math> <ref name=":1" /> == Náhodné veličiny [[Spojitá funkce\|spojitého typu]] == Řádek 99: Další funkcí, které se pro popis spojité náhodné veličiny používá je funkce distribuční značená ''F (x)'', která je rovna [[pravděpodobnost]]i P ''(X≤x )''. Charakterizovat ji lze jako funkci, která při postupu po ose reálných čísel „sčítá“ pravděpodobnosti. Pomocí hustoty pravděpodobnosti vyjádříme spojitou náhodnou veličinu ''X'' integrálem<ref name=":3" /> :<math>F(X)=\int_{-\infin}^{x}f(t)dt.</math> [[Hustota pravděpodobnosti\|Hustotu pravděpodobnosti]] v tomto [[integrál]]u, lze podle pravidel integrálního počtu určit jeho [[Derivace\|derivací]]. Z toho vychází, že hustota pravděpodobnosti je rovna derivaci distribuční funkce tj. :<math>f(x)=F'(x).</math> V bodě ''x'', kde derivace ''F´(x)'' neexistuje, přiřadíme hustotě pravděpodobnosti ''f(x)'' libovolnou hodnotu. Hustota pravděpodobnosti splňuje podmínku :<math>\int_{-\infin}^{\infin}f(x)dx=1</math> Integrál představuje geometricky plochu s jednotkovým obsahem, zdola ohraničenou osou reálných čísel a shora grafem hustoty pravděpodobností. Pravděpodobnost, že spojitá náhodná veličina nabude hodnoty z intervalu s hraničními body ''x<sub>1</sub>'' a ''x<sub>2</sub>'' , kde x<sub>1</sub>< x<sub>2</sub>, lze vypočítat buď pomocí její hustoty pravděpodobnosti nebo pomocí její distribuční funkce pomocí vzorců :<math>P(x_1< X \leq x_2)=\int_{x_1}^{x_2}f(t)dt=F(x_2)-F(x_1).</math> K popisu spojité náhodné veličiny používáme číselné charakteristiky, obdobné náhodným veličinám diskrétního typu. Nejdůležitější charakteristikou náhodné veličiny je střední hodnota, označená E(X), která je definována integrálem :<math>E(X)=\int_{-\infin}^{\infin}xf(x)dx.</math> Řádek 118: Další charakteristikou spojité náhodné veličiny je [[Rozptyl (statistika)\|'''rozptyl''']], označovaný D(X), který lze vypočítat takto :<math>D(X)=\int_{-\infin}^{\infin}x^2f(x)dx-[E(X)]^2.</math> Řádek 132: ==== [[Rovnoměrné rozdělení]] ==== Spojitá náhodná veličina ''X'' má ''rovnoměrné rozdělení'', jestliže její hustota pravděpodobnosti ''f (x)'' a distribuční funkce ''F (x)'' jsou zadány předpisy: :<math>\operatorname{f}(x) = \begin{cases} {1\over {b-a}} & \text{pro } x \in \langle \text{a}, b \rangle, \\ 0 & \text{jinak.} \end{cases}, F(x)=\left\{\begin{matrix} 0, & \mbox{pro }x <\mbox{a}, \\ {x-a\over {b-a}}, & Řádek 140: [[Střední hodnota]] a [[Rozptyl (statistika)\|rozptyl]] rovnoměrného rozdělení jsou: :<math>E(X)=\frac{a+b}{2},\ D(X)=\frac{(a+b)^2}{12}. </math> Hustota pravděpodobnosti a [[distribuční funkce]] náhodné veličiny s rovnoměrným rozdělením: [[Soubor:Rovnomerne rozdeleni hustota.svg\|žádné\|náhled\|300x300px\|Hustota pravděpodobnosti]] Řádek 147: ==== [[Normální rozdělení]] ==== <blockquote>Spojitá náhodná veličina ''X'' má ''normální rozdělení'' s parametry ''µ'' a ''σ'', což označujemeN (''µ,σ<sup>2</sup>''), jestliže jsou její hustota pravděpodobnosti ''f (x)'' a distribuční funkce ''F (x)'' pro ''x'' ∈ (-∞,∞) dány předpisy:</blockquote> :<math>f(x)= \frac{1}{\sigma\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}, F(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infin}^{x} e^{-\frac{(t - \mu)^2}{2\sigma^2}\mathrm{d}t}.</math> Střední hodnota a rozptyl normálního rozdělení jsou: :<math>E(X)=\mu, D(X)=\sigma^2. </math> Křivka znázorňující hustotu pravděpodobnosti normálního rozdělení se nazývá ''[[Gaussova křivka]]''. Charakteristickými rysy této křivky je to, že je symetrická kolem svislé přímky procházející bodem ''μ'', v němž má funkce ''f (x)'' globální maximum, a ve vzdálenostech 3σ vlevo a vpravo od bodu ''μ'' se téměř dotýká osy ''x''<ref name=":3" />. Řádek 160: Při výpočtech úloh se spojitými náhodnými veličinami, které mají normální rozdělení, se tato rozdělení liší svými parametry ''µ'' a ''σ''. Pro usnadnění výpočtů je vhodné tyto náhodné veličiny '''normovat''', což provedeme tak, že od hodnot náhodné veličiny odečteme její střední hodnotu µ a rozdíl dělíme směrodatnou odchylkou ''σ''. Dostaneme tak ''[[Normované normální rozdělení\|normovanou]]'' [[Normované normální rozdělení\|''náhodnou veličinu'']], označenou ''U'', kde :<math>U=\frac{X-\mu}{\sigma} </math> Jestliže náhodná veličina ''X'' má '''normální rozdělení N ''(µ,σ<sup>2</sup>)''''', pak jejím normováním dostaneme náhodnou veličinu ''U'', mající tzv. ''normované normální rozdělení'', které označíme '''N(0,1)'''. Tedy náhodná veličina ''U'' má střední hodnotu rovnu nule a rozptyl roven jedné. '''Distribuční funkce''' normované náhodné veličiny U, kterou označíme FN(u), je pak vyjádřena integrálem: :<math>F_N(u)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{u} e^\frac{t^2}{2}\, \mathrm{d}t. </math> Často řešenou úlohou je určení pravděpodobnosti, že náhodná veličina ''X'' s normálním rozdělením N(''µ,σ<sup>2</sup>'') nabude některé hodnoty z intervalu, jehož krajní body jsou ''x<sub>1</sub>'' a ''x<sub>2</sub>''. Tuto pravděpodobnost lze vypočíst pomocí vzorce: :<math>P(x_1 < X < x_2)=F_N\left( \frac{x_2-\mu}{\sigma} \right)+F_N \left( \frac{x_1-\mu}{\sigma} \right). </math> Protože náhodná veličina X je spojitá, nezáleží tato pravděpodobnost na tom, zda krajní body intervalu do výpočtu zahrneme nebo nezahrneme. Řádek 176: ==== [[Exponenciální rozdělení]] ==== Spojitá náhodná veličina ''X'' má ''exponenciální rozdělení'' s parametry A a δ, což označujeme E(''A,δ''), kde δ > 0, jestliže její hustota pravděpodobnosti a distribuční funkce jsou dány předpisy<ref name=":3" />: :<math>f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac {1}{\delta}e^\frac{x-A}{\delta}, & \mbox{pro }x>A, \\ 0, & \mbox{pro }\mbox{ jiná x},\end{matrix}\right. F(x)=\left\{\begin{matrix} 1-e^\frac{x-A}{\delta}, & \mbox{pro }x>A, \\ 0, & Řádek 187: Střední hodnota a rozptyl exponenciálního rozdělení jsou: :<math>E(X)=A+\delta </math> :<math>D(X)=\delta ^2 </math> Význam parametru ''A'' je v tom, že před touto hodnotou se hodnoty náhodné veličiny s exponenciálním rozdělením nemohou vyskytnout. Řádek 198: Pro ''A = 0'' lze vyjádřit tuto vlastnost vyjádřit následovně<ref name=":3" />: :<math>P(X >a+x\|X>a)= P(X>x) </math> Exponenciální rozdělení je z těchto důvodů vhodné k popisu rozdělení doby života těch zařízení, u nichž dochází k poruše ze zcela náhodných vnějších příčin, nikoliv např. vlivem stárnutí materiálu. Řádek 205: Spojitá náhodná veličina ''X'' má lognormální rozdělení s parametry ''µ'' a ''σ'', což označujeme LN(''µ,σ<sup>2</sup>''), jestliže její hustota pravděpodobnosti ''f(x'') a distribuční funkce ''F(x)'' jsou pro x> 0 dány předpisy<ref name=":3" />: :<math>f(x)=\frac{1}{\sigma x\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{{(lnx-\mu)}^2}{2\sigma^2}}, F(X)=F_N \left (\frac{lnx-\mu}{\sigma} \right). </math> [[Soubor:Some log-normal distributions.svg\|náhled\|250x250px\|Hustoty log-normálního rozdělení]] '''Střední hodnota a rozptyl''' lognormálního rozdělení jsou: :<math>E(X)=e ^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}}, D(X)=e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1). </math> Známe-li hodnoty ''E(X)'' a ''D(X)'' lognormálního rozdělení, pak parametry µ a σ tohoto rozdělení lze určit pomocí vzorců: :<math>\sigma^2= \mbox{ ln } \left [ 1 + \frac{D(X)}{\left [E(X)\right ]^2} \right ]; \mu=\mbox{ ln }E(X)-\frac{ \sigma^2 }{ 2 }. </math> == Využití náhodných veličin v marketingu ==

Náhodná veličina: Porovnání verzí