Měřitelný kardinál

Měřitelný kardinál je matematický pojem z oblasti teorie množin (kardinální aritmetiky). Patří mezi velké kardinály.

Definice

Řekneme, že kardinální číslo $\kappa$ je měřitelné, je-li nespočetné a existuje-li na $\kappa$ netriviální $\kappa$-úplný ultrafiltr, tj. ultrafiltr uzavřený na průniky méně než $\kappa$ množin.

Vlastnosti

Měřitelný ultrafiltr

Každý netriviální $\kappa$-úplný ultrafiltr ${\mathcal {U}}$ na $\kappa$ definuje $\,\kappa ^{<}$-aditivní (tj. takovou, že míra sjednocení méně než $\kappa$ množin míry 0 je množina míry 0) dvouhodnotovou míru předpisem $\mu (X)=1$ pro $X\in {\mathcal {U}}$ a $\mu (X)=0$ jinak. Obráceně každá taková míra definuje (inverzní formulí) nějaký netriviální $\kappa$-úplný ultrafiltr na $\kappa$. Proto se někdy měřitelný kardinál definuje jako takový kardinál $\kappa$, na němž existuje $\,\kappa ^{<}$-aditivní dvouhodnotová míra.

Z důvodů naznačených v předchozím odstavci se netriviální $\kappa$-úplný ultrafiltr na nespočetném kardinálu $\kappa$ nazývá měřitelný ultrafiltr na $\kappa$ nebo jen míra na $\kappa$.

Základní, jednoduše dokazatelnou a často užívanou vlastností měřitelného kardinálu je jeho uniformita.

Měřitelný kardinál

Každý měřitelný kardinál je Ramseyův a tedy nedosažitelný.

Stanislaw Ulam dokázal roku 1930 ve své práci Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre, že pokud je $\kappa$ nejmenší nespočetný kardinál takový, že na něm existuje $\aleph _{1}$-úplný ultrafiltr, pak $\kappa$ je měřitelný kardinál.

Pravděpodobně nejužitečnější metodu prokazování vlastností měřitelného kardinálu objevil počátkem 60. let 20. století Alfréd Tarski. Tato metoda spočívá v zavedení lineárního uspořádání na množině $\,\kappa ^{\kappa }$ všech funkcí z $\kappa$ do $\kappa$ pro měřitelný kardinál $\kappa$ takto: Nechť ${\mathcal {U}}$ je měřitelný ultrafiltr na $\kappa$. Pro funkce $f,g\in \kappa ^{\kappa }$ definujeme

• $f<^{\mathcal {U}}g$ právě když $\{x\in \kappa ;f(x)<g(x)\}\in {\mathcal {U}}$
• $f=^{\mathcal {U}}g$ právě když $\{x\in \kappa ;f(x)=g(x)\}\in {\mathcal {U}}$
• $f\leq ^{\mathcal {U}}g$ právě když $f<^{\mathcal {U}}g$ nebo $f=^{\mathcal {U}}g$
• $\,k_{a}$, kde $a\in \kappa$, je taková funkce, která splňuje $\,k_{a}(x)=a$ pro všechna $\,x\in \kappa$
• funkce f je první za konstantami, je-li $k_{a}<^{\mathcal {U}}f$ pro všechna $a\in \kappa$ a kdykoli $g<^{\mathcal {U}}f$, pak $g=^{\mathcal {U}}k_{a}$ pro nějaké $a\in \kappa$

Tarski pak dokázal následující větu: Je-li $\kappa$ měřitelný kardinál, pak na $\kappa$ existuje měřitelný ultrafiltr ${\mathcal {U}}$ takový, že identita na $\kappa$ (fce $\,id(x)$, že $\,id(x)=x$ pro $x\in \kappa$) je první za konstantami.

Volbou takovéhoto měřitelného ultrafiltru lze pak například dokázat, že před každým měřitelným kardinálem $\kappa$ leží právě $\kappa$ nedosažitelných kardinálů.

Související články

• Velké kardinály
• Ultrafiltr
• Ramseyův kardinál
• Míra (matematika)

Portály: Matematika