Semikubická parabola

Semikubická parabola (též Neilova parabola) je rovinná kubika, tj. algebraická rovinná křivka 3. stupně, kterou lze v kartézské soustavě souřadnic vyjádřit rovnicí

Semikubické paraboly pro různé hodnoty a

$y=\pm ax^{\frac {3}{2}}$,

kde $a\neq 0$ je konstanta a $x\in \mathbb {R} ^{+}$.

Další vyjádření

Parametrická rovnice

$x=t^{2}$,

$y=at^{3};t\in \mathbb {R}$

Implicitní funkce

$ax^{3}-y^{2}=0$

Polární soustava souřadnic

$r={\frac {\operatorname {tg} ^{2}\,\varphi \sec \varphi }{a}}$

Vlastnosti

Speciálními případy této křivky jsou evoluta paraboly:

$x={\frac {3}{4}}(2y)^{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2}}$

a katakaustika Tschirnhausenovy kubiky:

$x=3t^{2}-9$

$y=t^{3}-3t$

Sama je speciálním případem eliptické křivky v Legendrově normální formě:

$y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )$

Křivka se někdy označuje po anglickém matematikovi W. Neilovi (1637–1670), který ji v roce 1657 objevil.

Byla první netriviální algebraickou křivkou, u které byla vypočítána délka oblouku (mezi hrotem a bodem s argumentem t při výše uvedené parametrizaci):

$s(t)={\frac {1}{27}}(4+9t^{2})^{\frac {3}{2}}-{\frac {8}{27}}$

Související články

• Parabola

Externí odkazy

• Semikubická parabola v encyklopedii MathWorld (anglicky)