Otevřít hlavní menu

Funkce (matematika)

binární relace přiřazující každému prvku zdrojové množiny právě jeden prvek cílové množiny
(přesměrováno z Parametrická rovnice)

Funkce je v matematice název pro zobrazení z nějaké množiny do množiny[pozn. 1] čísel (většinou reálných nebo komplexních), nebo do vektorového prostoru (pak se mluví o vektorové funkci). Je to tedy předpis, který každému prvku z množiny (kde se nazývá definiční obor) jednoznačně přiřadí nějaké číslo nebo vektor (hodnotu funkce). Někdy se však slovo funkce používá pro libovolné zobrazení.

DefiniceEditovat

Poněkud neformálníEditovat

Na množině čísel   je definovaná funkce, je-li dán předpis, podle kterého je každému x náležícímu do množiny   přiřazeno právě jedno číslo y.

Značíme:  .

Proměnná   se označuje jako argument funkce (nezávisle proměnná). Proměnná   je funkční hodnota (závisle proměnná).

Množinu  , na které je funkce definovaná, nazýváme (definičním) oborem (nebo také doménou) funkce. Pokud není při zadání funkce uveden definiční obor, pak se za definiční obor obvykle považuje množina všech hodnot nezávisle proměnné, pro něž má funkce smysl. Definičním oborem může být například množina celých, reálných nebo komplexních čísel. Definiční obor může mít i více dimenzí. Pokud má dvě, pak můžeme říkat, že má funkce dva argumenty, nebo že jejím argumentem je jeden dvourozměrný vektor. Jedná se o dva pohledy na stejnou věc. V případě, že má vektor, který je argumentem funkce, nekonečnou dimenzi (většinou nespočetnou), nemluvíme již o funkci, ale o funkcionálu.

Množinu všech čísel  , takových, že  , nazýváme oborem hodnot (kooborem) dané funkce.

Matematicky přesnějšíEditovat

Funkcí rozumíme zobrazení   z libovolné množiny   do číselné množiny  . Funkce   je binární relací  , kde platí, že každému prvku   je přiřazeno nejvýše jedno číslo  , že   (jestliže   a  , pak  ). Místo   často píšeme  , kde   nazýváme funkční hodnotou funkce  .[2]

Definičním oborem funkce je pak podmnožina   všech prvků množiny  , ke kterým taková uspořádaná dvojice existuje právě jedna. Říkáme, že pro prvky množiny  , které nejsou prvky definičního oboru, daná funkce není definována.

Oborem hodnot dané funkce je množina všech prvků y množiny T, ke kterým v relaci existuje alespoň jedna uspořádaná dvojice  , kde  .

Způsoby zadání funkceEditovat

AnalytickyEditovat

Analytickým předpisem rozumíme zadání funkce ve formě  , pak říkáme, že funkce je zadána explicitním vyjádřením (explicitní funkce). Funkci můžeme vyjádřit také v implicitním tvaru (implicitní funkce) jako  . Dalším způsobem je zápis v parametrickém tvaru (parametrická funkce) soustavou rovnic  ,  , kde   je vhodný parametr.

PříkladEditovat

Např.   je explicitní zápis kvadratické funkce. V implicitním tvaru lze stejnou rovnici zapsat jako  . V parametrickém tvaru lze zvolit např. soustavu rovnic  ,  .

GrafickyEditovat

Při grafickém zadání funkci vyjádříme grafem.

PříkladEditovat

Příklad zadání funkce grafem (  označuje definiční obor a   obor hodnot)

Tabulkou (výčtem hodnot)Editovat

Funkční předpis může být zadán také výčtem hodnot, který obvykle uspořádáme do tabulky.

PříkladEditovat

Příkladem může být např. zadání funkce

  1 2 3 7 9
  2 4 5 3 3

Definičním oborem je zde množina   a oborem hodnot je množina  .

Typy funkcíEditovat

Je-li nezávisle proměnná z množiny reálných čísel, pak hovoříme o funkci reálné proměnné, pokud je nezávisle proměnná z množiny komplexních čísel, hovoříme o funkci komplexní proměnné. Pokud je závislá proměnná z množiny reálných čísel, pak se jedná o reálnou funkci, je-li z množiny komplexních čísel, jde o komplexní funkci. Např. komplexní funkce reálné proměnné přiřazuje každému reálnému číslu (z definičního oboru) komplexní číslo.

Argumentem funkce nemusí být jen čísla, ale mohou jím být také matice, vektory, tenzory, apod. Pak podle typu argumentu hovoříme o maticové funkci, vektorové funkci, tenzorové funkci, apod.

O funkci obsahující jedinou nezávisle proměnnou hovoříme jako o funkci jedné proměnné, např.  . Funkce obsahující dvě (nebo více) nezávislých proměnných pak označujeme jako funkci dvou (tří, čtyř, …) proměnných, např.   je funkce dvou proměnných   a  . Funkci  -proměnných zapisujeme jako

  •  
  •   pro  
  •  , kde   představuje bod v n-rozměrném prostoru
  •  , kde   představuje polohový vektor bodu v n-rozměrném prostoru.

Algebraická a transcendentní funkceEditovat

Funkci je algebraická, pokud ji lze vyjádřit ve tvaru polynomu, například pokud lze funkci   vyjádřit jako  , kde   je polynom, pak se jedná o algebraickou funkci. Stupeň polynomu   pak určuje stupeň funkce. Funkce, které nejsou algebraické, se označují jako transcendentní. Mezi transcendentní funkce se řadí funkce sinus, kosinus, tangens, kotangens, exponenciální, logaritmické, případně další, které není možné vyjádřit pomocí elementárních funkcí.

Algebraické funkce lze dále rozdělit na racionální funkce a iracionální funkce. Iracionální funkce jsou funkce obsahující  , kde   jsou nesoudělná čísla.

Transcendentní funkce lze rozdělit na nižší, kam patří například exponenciální, logaritmické, goniometrické a cyklometrické funkce, a vyšší, například chybová funkce n. eliptické integrály. Vyšší transcendentní funkce nelze pomocí elementárních funkcí vyjádřit v konečném tvaru.[zdroj?]

Rekurzivní funkceEditovat

Zvláštním případem zadání funkce je tzv. rekurzivní funkce. Zadání funkce rekurentně je zadání předpisu, který dává do vztahu nějaké hodnoty funkce s jinými hodnotami takovým způsobem, že funkce je dobře definována.

Příkladem takové funkce může být např. funkce definovaná na přirozených číslech, kterou definujeme vztahy   a   pro  . Uvedenou funkci lze také zapsat jako  , tzn. tato funkce počítá faktoriál.

Celý proces výpočtu rekurzivní funkce je označován jako rekurze a našel uplatnění především ve výpočetní technice.

Operace s funkcemiEditovat

Mějme funkci   s definičním oborem   a funkci   s definičním oborem  . Společný definiční obor obou funkcí je průnikem obou definičních oborů, tzn.  .

Funkce   jsou si na   rovny, pokud platí   pro všechna  .

Součtem funkcí   na   označíme funkci   takovou, že   pro všechna  .

Součinem funkcí   na   označíme funkci   takovou, že   pro všechna  .

Podílem funkcí   na   označíme funkci   takovou, že   pro všechna  , kde   je definiční obor  , z něhož byla vyňata všechna  , pro která platí  .

PoznámkyEditovat

  1. Nikoli ale užším způsobem definované zobrazení množiny do množiny, které vyžaduje využít jako definiční obor celou množinu vzorů; např.   není zobrazení reálných čísel do reálných čísel,[1] ale zobrazení z reálných čísel do reálných čísel ano. Není to však ani obecná binární relace v množině čísel, neboť pro funkci je (jako pro obecnější zobrazení, neomezující se na číselné množiny vzorů a obrazů) nutná jednoznačnost obrazu. "Víceznačné" funkce nelze brát jako funkce v pravém slova smyslu, ale jedná se o rozšíření tohoto pojmu nad rámec definice.

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat

  1. FOLTÍNEK, Tomáš, a kol. Teoretické základy informatiky (sbírka úloh do cvičení). Redakce Tomáš Hála; Sazba Pavel Haluza. 1.. vyd. Brno: Konvoj, 2013. 70 s. ISBN 978-80-7302-147-4. S. 40,43. 
  2. BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 4. vyd. Praha: Academia, 1994. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. S. 87.