V matematice je Cauchyho–Schwarzova nerovnost (též známá jako: Schwarzova , Bunjakovského , Cauchyho–Bunjakovského nebo Cauchyho–Bunjakovského–Schwarzova nerovnost ) užitečná nerovnost často používaná v různých odvětvích matematiky, jako je lineární algebra , analýza nebo teorie pravděpodobnosti . Bývá považována za jednu z nejdůležitějších nerovností v matematice. Má různá zobecnění, mezi nejdůležitější patří Hölderova nerovnost .
Na unitárním prostoru V {\displaystyle {\mathcal {V}}} se skalárním součinem ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } platí:
| ⟨ x , y ⟩ | 2 ≤ ⟨ x , x ⟩ ⟨ y , y ⟩ ∀ x , y ∈ V {\displaystyle |\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \langle y,y\rangle \ \forall x,y\in {\mathcal {V}}} .Můžeme obě strany nerovnosti odmocnit a dostaneme ekvivalentní tvrzení:
| ⟨ x , y ⟩ | ≤ ‖ x ‖ ‖ y ‖ ∀ x , y ∈ V {\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\|y\|\ \forall x,y\in {\mathcal {V}}} .Navíc, rovnost nastává právě tehdy, když jsou x {\displaystyle x} a y {\displaystyle y} lineárně závislé .
Pro každé x , y ≠ 0 {\displaystyle x,y\neq 0} existuje z {\displaystyle z} takové, že:
x = λ y + z {\displaystyle x=\lambda y+z} , kde λ = ⟨ x , y ⟩ ⟨ y , y ⟩ , z ⊥ y {\displaystyle \lambda ={\frac {\langle x,y\rangle }{\langle y,y\rangle }},\ z\bot y} .Za použití Pythagorovy věty dostaneme:
‖ x ‖ 2 = | λ | 2 ‖ y ‖ 2 + ‖ z ‖ 2 ≥ | λ | 2 ‖ y ‖ 2 = | ⟨ x , y ⟩ | 2 ‖ y ‖ 4 ‖ y ‖ 2 = | ⟨ x , y ⟩ | 2 ‖ y ‖ 2 {\displaystyle \|x\|^{2}=|\lambda |^{2}\|y\|^{2}+\|z\|^{2}\geq |\lambda |^{2}\|y\|^{2}={\frac {|\langle x,y\rangle |^{2}}{\|y\|^{4}}}\|y\|^{2}={\frac {|\langle x,y\rangle |^{2}}{\|y\|^{2}}}} Z čehož plyne:
‖ x ‖ 2 ‖ y ‖ 2 ≥ | ⟨ x , y ⟩ | 2 {\displaystyle \|x\|^{2}\|y\|^{2}\geq |\langle x,y\rangle |^{2}} .Což je po úpravě požadovaná nerovnost.
Pokud máme rovnost, tak nutně ‖ z ‖ = 0 ⇒ z = 0 {\displaystyle \|z\|=0\Rightarrow z=0} a tudíž: x = λ y {\displaystyle x=\lambda y} jsou x , y {\displaystyle x,y} lineárně závislé.
Související články
editovat