Věty o dimenzi

Součet dimenze jádra a hodnosti matice se rovnají počtu sloupců matice
(přesměrováno z První věta o dimenzi)

V lineární algebře se dokazují dvě užitečná tvrzení svazující dimenze jistých podprostorů vektorového prostoru. Mějme vektorový prostor V nad nějakým tělesem. První tvrzení dává do souvislosti dimenze dvou vektorových podprostorů prostoru V a dimenzí jejich součtu a průniku - tzv. první věta o dimemzi zvaná též věta o dimenzi součtu a průniku podprostorů. Druhé tvrzení pak udává vztah mezi dimenzemi jádra a oboru hodnot libovolného lineárního zobrazení (konečněrozměrného) mezi dvěma vektorovými prostory - tzv. druhá věta o dimenzi, nazývaná také věta o dimenzi jádra a obrazu.

První věta o dimenziEditovat

Nechť   je vektorový prostor nad tělesem  . Dále nechť   a   jsou podprostory prostoru   konečných dimenzí, tj.  ,  ,  . Pak platí

 

Pro direktní součet podprostorů pak speciálně

 

DůkazEditovat

Pokud je   podprostor prostoru  , tj.  , tak tvrzení věty zjevně platí, neboť pak  ,   a  ,  . Totožně by se postupovalo, byl-li by   podprostorem  . Nechť tedy dále není ani jeden podprostor podmnožinou toho druhého. V obou podprostorech určitě leží nulový vektor, můžeme proto rozlišit případ, kdy je průnik   a kdy v průniku leží i nějaký nenulový vektor. Předpokládejme nejprve druhou zmíněnou možnost, tzn. v průniku obou podprostorů leží nenulový vektor. Protože průnik podprostorů je opět podprostor je tato podmínka ekvivalentní tomu, že průnik   a   je netriviální podprostor. Z konečnosti dimenzí   a   musí být tento podprostor konečněrozměrný, nechť  . V   tedy existuje  -členná báze  . Nechť   a  . Je zřejmé, že  . Myšlenka důkazu je taková, že bázi průniku doplníme na bázi prostorů   a  . Z toho už bude tvrzení věty ihned vyplývat. Protože   a  , lze zřejmě doplnit bázi průniku   jednak na bázi prostoru  , jednak na bázi prostoru  . Označme bázi prostoru   a prostoru   po řadě

 

kde jsme vektory  , resp.  , doplnily bázi průniku na bázi prostoru  , resp.  .

Abychom měli všechny ingredience potřebné pro dokončení důkazu, potřebujeme ještě najít vhodnou bázi součtu podprostorů   (součet podprostorů je opět podprostor). Ukážeme, že množina vektorů

 

je naší vhodnou bází tohoto prostoru. Aby výše uvedená množina vektorů byla bází, musí generovat celý prostor   a současně musí být lineárně nezávislá. První vlastnost je zřejmá z toho, jak jsme tuto množinu vektorů zkonstruovali. Dokažme tedy lineární nezávislost. Mějme tedy lineární kombinaci výše uvedených vektorů, dávající nulový vektor

 

Chceme ukázat, že všechny koeficienty   už musí být nutně nulové. Přepišme si tuto lineární kombinaci do tvaru

 

Na levé straně máme vektor z prostoru  , na druhé straně rovnosti pak vektor z  . Z rovnosti tedy plyne, že se jedná o vektor z průniku  . Lze ho tedy napsat jako lineární kombinaci

 

pro jisté koeficienty  . Dostáváme tak dvě rovnosti

 

které si můžeme zapsat způsobem

 

První rovnice obsahuje lineární kombinaci bazických vektorů prostoru   rovnající se nulovému vektoru. Koeficienty u těchto vektorů tedy musí být nulové. Podobně i pro druhou rovnici, kde vystupují bazické vektory prostoru  . Máme tedy

 

Všechny koeficienty jsou tedy nulové a my jsme tím ukázali, že množina   je bází prostoru  . Protože tato báze obsahuje   vektorů, máme  . Celkově

 

což jsme měli dokázat. Zbývá ještě případ, kdy  . (To je ekvivalentní tomu, že součet prostorů   a   je direktní.) Platí tedy  . Postupem analogickým tomu výše se ukáže, že  

PříkladEditovat

Uvažujme vektorový prostor   s klasicky definovanými operacemi sčítání a násobení vektoru číslem. Mějme v tomto prostoru dva lineární obaly tvaru

 

Není těžké ukázat, že generátory lineárního obalu   (tj. vektory vyobrazené ve složených závorkách) jsou lineárně nezávislé. Dimenze podprostoru   je tedy 3 (mám tři lineárně nezávislé generátory). Podobně pro obal  . Z první věty o dimenzi plyne, že

 

Protože je ale součet   stále podprostorem pětidimenzionálního vektorového prostoru  , nemůže jeho dimenze přesáhnout hodnotu 5. Ze vzorce výše tedy rovnou plyne, že průnik   je podprostor dimenze alespoň jedna. Existuje tedy nenulový vektor ležící v   a současně v  . Tuto skutečnost jsme tedy odvodili čistě ze znalostí dimenzí podprostorů   a  , aniž bychom blíže zkoumali jejich vlastnosti.

Druhá věta o dimenziEditovat

Nechť   a   jsou dva vektorové prostory nad stejným číselným tělesem   a nechť   je lineární zobrazení z prostoru   do prostoru  , tj.  . Dále nechť   má konečnou dimenzi, tj.  . Pak platí vztah

 

kde   značí jádro zobrazení A a   jeho obor hodnot.

DůkazEditovat

Označme si  . Lze ukázat, že vzor množiny lineárně nezávislých vektorů při lineárním zobrazení je opět soubor lineárně nezávislých vektorů. To znamená, že kdyby v množině   (tj. vzoru prostoru   při zobrazení  ) bylo více než   lineárně nezávislých vektorů, tak je tolik lineárně nezávislých vektorů i v prostoru  , což je spor s tím, že dimenze   je  . Dimenze obrazu zobrazení   je tedy konečná a není větší než  . Označme si tuto dimenzi jako  . V   tedy existuje  -členná báze, označme si bazické vektory jako  . Vektory   z prostoru   takové, že   (tj. vzory   při zobrazení  ) tvoří  -člennou lineárně nezávislou množinu vektorů v  . Jejich lineární obal tedy tvoří  -rozměrný podprostor prostoru  , označme si ho jako  . Platí tedy  , kde

 

Navíc víme, že jádro lineárního zobrazení též tvoří podprostor, tj.  . Ukážeme nejprve, že součet těchto podprostorů je roven celému prostoru   a že tento součet je navíc direktní. Neboli

 

Dokažme nejdříve inkluzi zleva doprava, tzn. že  . To je ale zřejmé z konstrukce. Ukažme tedy opačnou inkluzi. Mějme nějaký libovolně zvolený vektor   a najděme jeho rozklad do podprostorů   a  . Hledáme tedy vektory   a   takové, že  . Protože   má ležet v jádru  , platí  . Existují tedy koeficienty z tělesa   takové, že

 

Navíc  , takže

 

Za vektor   tedy můžeme zvolit

 

Vektor   pak vznikne jako rozdíl

 

Pro libovolný vektor   jsme tak nalezli jeho rozklad do podprostorů   a  .

Nyní ukažme, že se jedná o direktní součet. To je ekvivalentní tomu, že v průniku podprostorů   a   leží jen nulový vektor, tj.  . Vezměme tedy nějaký vektor   z průniku  . Pokud o něm zjistíme, že je nulový, tak jsme hotovi. O libovolném vektoru z průniku jsme totiž ukázali, že je nulový. Protože  , je určitě  . Existuje tedy  -tice koeficientů   z tělesa taková, že

 

Protože je   současně z jádra  , tak

 

Neboť jsou vektory   lineárně nezávislé, jsou všechny koeficienty   nulové a platí tedy  .

Zatím jsme tedy dokázali rovnost

 

Nyní můžeme použít první větu o dimenzi, z níž vyplývá

 

Podprostor   má ale stejnou dimenzi jako množina  . Dostali jsme tedy tvrzení věty.

PříkladEditovat

Uvažujme reálný konečněrozměrný vektorový prostor   a k němu prostor duální, nechť  . Mějme  , funkcionál z duálního prostoru, a nechť   je vektor takový, že  . Protože   je funkcionál, je jeho obor hodnot z definice podmnožinou tělesa  , což je současně reálný vektorový prostor dimenze jedna,  . Neboť je   zjevně nenulový, je jeho obor hodnot jednodimenzionální (kdyby byl nulový, zobrazuje každý vektor na nulu a jeho obor hodnot má tedy dimenzi nula). Z druhé věty o dimenzi vyplývá, že dimenze jádra funkcionálu   je

 

Jádro zobrazení   tedy tvoří  -rozměrný podprostor prostoru  . Z toho tedy vidíme, že jediné vektory, na které   nedá nulu, jsou násobky vektoru  , neboli jeho lineární obal  .

LiteraturaEditovat

  • PYTLÍČEK, Jiří. Lineární algebra a geometrie. Praha: Česká technika - nakladatelství ČVUT, 2008. ISBN 978-80-01-04063-8.  – skripta FJFI ČVUT