Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic

postup pro získání přibližného řešení obyčejných diferenciálních rovnic

V numerické matematice je numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic postup, kterým můžeme získat přibližné řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Používá se v případech, kdy by bylo nalezení přesného (analytického) řešení náročné nebo v případech, kdy analytické řešení nelze najít.

Diferenciální rovnice a její počáteční podmínky bývají často uváděny v tomto tvaru:

Metody řešení editovat

Funkce f(t,y) (někdy se nazývá stavová rovnice) může být obecně velmi komplikovaná, proto je nutné řešit rovnici numericky. V takovém případě probíhá řešení v diskrétních časových krocích  :

 

  je funkce (někdy též směrová funkce), která se snaží aproximovat   tak, aby   bylo co nejpřesnější.

Eulerova metoda editovat

Podrobnější informace naleznete v článku Eulerova metoda.

Existuje více metod, jak v daném čase získat co nejlepší aproximaci derivace, nejjednodušší je Eulerova metoda:

 

Rungeovy–Kuttovy metody editovat

Obecně lze Rungeovy–Kuttovy metody zapsat následovně:

 
 

Koeficienty u těchto metod jsou vypočteny tak, aby metoda řádu   odpovídala Taylorovu polynomu funkce   stejného řádu. (Eulerova metoda je vlastně metodou prvního řádu.)

Často se používá čtyřbodová metoda Runge-Kutta (RK4), která je čtvrtého řádu.

 
 
 
 
 
(Korespondence různých způsobů zápisu:  ;  ;  ;  . Korespondence s obecným vzorcem:  ;  ;  ;  ;  .)

Vícekrokové metody editovat

U vícekrokových metod je hodnota   vypočtena z předchozích hodnot   (respektive  ,  ) proložených interpolačním polynomem. Řád metody zde odpovídá řádu interpolačního polynomu. (Eulerova metoda je v podstatě jednokrokovou metodou.)

Obecnou vícekrokovou metodu lze zapsat následovně:

 

Explicitní metody editovat

Pokud je  , lze hodnotu   určit z   předchozích hodnot   (respektive z   předchozích hodnot  ) a jedná se o metodu explicitní.

Příklad 1, explicitní metoda Adams-Bashford druhého řádu:

 
(Korespondence s obecným vzorcem:  ;  ;  ;  ;  ;  .)

Příklad 2, explicitní metoda Adams-Bashford čtvrtého řádu:

 

Implicitní metody editovat

Pokud je   různé od nuly, je pro výpočet   nutná znalost   a jedná se o metodu implicitní.

Příklad, implicitní metoda Adams-Moulton čtvrtého řádu:

 

Metody prediktor-korektor editovat

Metody prediktor-korektor jsou sloučením explicitních a implicitních metod. Nejprve je použita explicitní metoda pro odhad nového  . V tomto bodě je vypočtena derivace  , která je následovně použita v implicitní metodě pro výpočet přesnější aproximace  .

Související články editovat