Moorova–Osgoodova věta

Moorova–Osgoodova věta je věta z oblasti matematické analýzy pojmenovaná po matematicích E. H. Moorovi a W. F. Osgoodovi, která charakterizuje postačující podmínku pro záměnu limit v násobných limitách.

Eliakim Hastings Moore

Znění

Nechť $(P,\rho )$ je metrický prostor, $x_{0}\in P$ je hromadný bod $P$ a funkce $f,f_{n}:P\rightarrow \mathbb {R} \forall n\in \mathbb {N}$ splňují

1. existuje $r\in \mathbb {R} :r>0$ takové, že $f_{n}$ stejnoměrně konverguje k $f$ na $B(x_{0},r)\setminus \{x_{0}\}$
2. pro každé $n\in \mathbb {N}$ platí $\lim \limits _{x\rightarrow x_{0}}f_{n}(x)=a_{n}\in \mathbb {R}$

Potom existují vlastní limity $\lim \limits _{x\rightarrow x_{0}}f(x)$ a $\lim \limits _{n\rightarrow \infty }a_{n}$. Navíc, tyto limity si jsou rovny.

Důkaz

Nejdříve ukážeme, že existuje limita $\lim \limits _{n\rightarrow \infty }a_{n}$:

Dostaneme zadané $\varepsilon >0$ a k němu volíme $n_{0}\in \mathbb {N}$ tak, aby platilo $\forall x\in B(x_{0},r)\setminus \{x_{0}\},\forall n\in \mathbb {N} ,n\geq n_{0}:|f_{n}(x)-f(x)|<{\frac {\varepsilon }{4}}$. Takové $n_{0}$ existuje ze stejnoměrné konvergence $f_{n}$ na $f$.

Mějme dále $m,n\in \mathbb {N} ,m,n>n_{0}$. Pro ně najdeme $r_{n}\in \mathbb {R} ^{+}:r_{n}<r$ tak, aby platilo $\forall x\in B(x_{0},r_{n})\setminus \{x_{0}\}:|f_{n}(x)-a_{n}|<{\frac {\varepsilon }{4}}$. Analogicky najdeme $r_{m}\in \mathbb {R} ^{+}:r_{m}<r$ tak, aby platilo $\forall x\in B(x_{0},r_{m})\setminus \{x_{0}\}:|f_{m}(x)-a_{m}|<{\frac {\varepsilon }{4}}$. Tato $r_{m},r_{n}$ opět existují z konvergence limity.

Nyní uvážíme $x\in B(x_{0},{\text{min}}\{r_{m},r_{n}\})\setminus \{x_{0}\}$. Pro toto $x$ platí $|a_{n}-a_{m}|=|a_{n}-f_{n}(x)+f_{n}(x)-f(x)+f(x)-f_{m}(x)+f_{m}(x)-a_{m}|\leq |a_{n}-f_{n}(x)|+|f_{n}(x)-f(x)|+|f(x)-f_{m}(x)|+|f_{m}(x)-a_{m}|={\frac {\varepsilon }{4}}+{\frac {\varepsilon }{4}}+{\frac {\varepsilon }{4}}+{\frac {\varepsilon }{4}}=\varepsilon$.

Tedy posloupnost $(a_{n})$ je cauchyovská , a tedy (jelikož jsou všechny hodnoty reálné) i konvergentní a má vlastní limitu: $\lim \limits _{n\rightarrow \infty }a_{n}=a\in \mathbb {R}$.

Tím je splněn první cíl. Dále dokážeme, že platí rovnost, tedy $\lim \limits _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=a$.

Opět mějme zadané $\varepsilon >0$. K němu nalezneme $n_{0}\in \mathbb {N}$ takové, že $\forall n\geq n_{0}:|a_{n}-a|<{\frac {\varepsilon }{3}}$. Existence takového $n_{0}$ plyne z konvergence posloupnosti $(a_{n})$. Dále najdeme $n_{1}\in \mathbb {N}$ tak, aby platilo $\forall n\geq n_{1}:\forall x\in B(x_{0},r)\setminus \{x_{0}\}:|f_{n}(x)-f(x)|<{\frac {\varepsilon }{3}}$. To existuje ze stejnoměrné konvergence $f_{n}\rightrightarrows f$. Nyní uvážíme libovolné $n>{\text{max}}\{n_{0},n_{1}\}$ a toto $n$ zafixujeme. Nalezneme $r_{1}\in \mathbb {R} ^{+}:\forall x\in B(x_{0},r_{1})\setminus \{x_{0}\}:|f_{n}(x)-a_{n}|<{\frac {\varepsilon }{3}}$.

Nakonec zvolíme $r_{2}={\text{min}}\{r,r_{1}\}$. Pak $\forall x\in B(x_{0},r_{2})\setminus \{x_{0}\}:|f(x)-a|=|f(x)-f_{n}(x)+f_{n}(x)-a_{n}+a_{n}-a|\leq |f(x)-f_{n}(x)|+|f_{n}(x)-a_{n}|+|a_{n}-a|={\frac {\varepsilon }{3}}+{\frac {\varepsilon }{3}}+{\frac {\varepsilon }{3}}=\varepsilon$, čímž jsme tvrzení dokázali.

Význam

Tato věta je významná pro svou poměrně jednoduchou charakterizaci postačující podmínky pro záměnu limit.

Zároveň lze jednoduše ukázat, že pro posloupnosti konvergující nestejnoměrně nemusí záměna limit platit: příkladem je $f_{n}:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} :f_{n}(x)=x^{n}$. Pak zjevně $\lim \limits _{n\rightarrow \infty }f_{n}(1)=1$ a zároveň $f_{n}$ konverguje (avšak ne stejnoměrně) k funkci $f(x)=0\forall x\in [0,1),f(1)=1$. Také ovšem platí $\lim \limits _{x\rightarrow 1}f(x)=0$ , a tedy si limity ze znění nejsou rovny.

Využití

Základním využitím této věty je právě teoretická aplikace možnosti záměny pořadí limit.

Jiné znění této věty také umožňuje ukázat konvergenci jednostranné limity dvou proměnných.

Externí odkazy

1. Moore-Osgood theorem for fuzzy functions. ResearchGate | Share and discover research [online]. Copyright © ResearchGate 2019. All rights reserved. [cit. 12.04.2019]. Dostupné z: https://www.researchgate.net/publication/266249354_Moore-Osgood_theorem_for_fuzzy_functions
2. A Boolean Derivation of the Moore-Osgood Theorem. JSTOR: Access Check. JSTOR [online]. Copyright ©2000 [cit. 12.04.2019]. Dostupné z: https://www.jstor.org/stable/2266733?seq=1#metadata_info_tab_contents
3. HOFFMAN, Kenneth. Analysis in Euclidean space. Dover ed. Mineola, N.Y.: Dover Publications, 2007. ISBN 978-0486458045. https://epdf.tips/analysis-in-euclidean-space8d033b5dc21477810d8465ee52f782527763.html